Considere o subsconjunto S pertencente ao espaço vetorial V=R^4 S= (x,y,z,w)in R^4;y=x,z=w^2 Atende apenas uma duas condições que definem um subespaço de V. Se k=2 e u=(3,3,16,4) então 2u pertence a S. Não é subespaço vetorial de V, pois, por exemplo, u=(1,1,4,2) e v=(2,2,9,3) pertencem a S, u+v não pertence. Se k=1 e u=(3,3,16,4) então 1u não pertence as. Sé subespaço de V pois atende às duas condições que definem um subespaço de V.

Para determinar se o conjunto S é um subespaço vetorial de V, devemos verificar se ele atende às duas condições que definem um subespaço: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.<br /><br />1. Fechamento sob adição: Para que S seja um subespaço, deve ser fechado sob adição. Isso significa que, se dois vetores u e v pertencem a S, então a soma u + v também deve pertencer a S. No entanto, no exemplo fornecido, temos u = (1,1,4,2) e v = (2,2,9,3) pertencentes a S, mas a soma u + v não pertence a S. Portanto, S não atende à condição de fechamento sob adição.<br /><br />2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Para que S seja um subespaço, deve ser fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se um vetor u pertence a S, então o produto escalar ku também deve pertencer a S. No exemplo fornecido, temos u = (3,3,16,4) e k = 2. Multiplicando u por k, temos 2u = (6,6,32,8). Verificando as condições de S, temos que y = x e z = w^2. Aplicando essas condições a 2u, temos que 6 = 6 e 32 = 8^2. Portanto, 2u não pertence a S.<br /><br />Portanto, o conjunto S não é um subespaço vetorial de V, pois não atende às duas condições que definem um subespaço: fechamento sob adição e fechamento sob multiplicação por escalar.