Demonstrarpor "indução matemática". 2^nlt 2^n+1

Para demonstrar por indução matemática que \(2^n < 2^{n+1}\), vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />### Passo 1: Base da Indução<br />Verificamos a afirmação para \(n = 0\).<br /><br />\[ 2^0 = 1 \]<br />\[ 2^{0+1} = 2^1 = 2 \]<br /><br />Claramente, \(1 < 2\). Portanto, a base da indução é verdadeira.<br /><br />### Passo 2: Passo Indutivo<br />Supomos que a afirmação é verdadeira para algum \(k \geq 0\), ou seja, supomos que \(2^k < 2^{k+1}\).<br /><br />Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para \(k+1\), ou seja, queremos mostrar que \(2^{k+1} < 2^{(k+1)+1}\).<br /><br />### Passo 3: Prova<br />Começamos com a suposição inductiva:<br />\[ 2^k < 2^{k+1} \]<br /><br />Multiplicamos ambos os lados da desigualdade por 2:<br />\[ 2 \cdot 2^k < 2 \cdot 2^{k+1} \]<br /><br />Usando a propriedade das potências, \(2 \cdot 2^k = 2^{k+1}\):<br />\[ 2^{k+1} < 2^{k+2} \]<br /><br />Portanto, a afirmação \(2^{k+1} < 2^{k+2}\) é verdadeira.<br /><br />### Conclusão<br />Pelo princípio de indução matemática, a afirmação \(2^n < 2^{n+1}\) é verdadeira para todos os \(n \geq 0\).<br /><br />Portanto, a demonstração por indução matemática completa a prova de que \(2^n < 2^{n+1}\).