2. Soit f la fonction définie sur R par: f(x)=sqrt (x^2+1)-x a) Montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer. b) Montrer que f^-1 est dérivable en 1 et calculer (f^-1)'(1)

a) Pour montrer que f admet une fonction réciproque définie sur un intervalle J à déterminer, nous devons montrer que f est strictement monotone sur cet intervalle. Pour cela, nous devons calculer la dérivée de f et montrer qu'elle est strictement positive ou négative sur cet intervalle.<br /><br />La dérivée de f est donnée par :<br />$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - 1$<br /><br />Pour que f soit strictement monotone, nous devons avoir $f'(x) > 0$ ou $f'(x) < 0$ sur l'intervalle J.<br /><br />En résolvant l'inégalité $f'(x) > 0$, nous obtenons :<br />$\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} - 1 > 0$<br />$x > \sqrt{x^2 + 1}$<br />$x^2 > x^2 + 1$<br />$0 > 1$<br /><br />Ceci est impossible, donc il n'y a pas d'intervalle J pour lequel f est strictement monotone. Par conséquent, f ne peut pas admettre une fonction réciproque définie sur un intervalle J.<br /><br />b) Puisque f ne peut pas admettre une fonction réciproque définie sur un intervalle J, il est impossible de montrer que $f^{-1}$ est dérivable en 1 et de calculer $(f^{-1})'(1)$.