Exercício 6.7 Considere o espaço vetorial R^4 munido do produto interno usual e V subespaça vetorial gerado pelos elementos w_(1)=(1,-1,0,1) e w_(2)=(-1,0,1,1 Sejam P o operador de projeção ortogonal sobre o subespaço W e R o operador reflexão sobre o subespaço W. Pede-se: (a) Determine os autovalores e os autovetores do operador P. (b) Determine os autovalores e os autovetores do operador R.

Para resolver o exercício, precisamos entender como funcionam os operadores de projeção ortogonal e reflexão em um subespaço vetorial.<br /><br />(a) **Autovalores e autovetores do operador \( P \):**<br /><br />O operador de projeção ortogonal \( P \) sobre um subespaço \( W \) tem as seguintes propriedades:<br /><br />1. Se \( v \in W \), então \( P(v) = v \). Portanto, qualquer vetor em \( W \) é um autovetor de \( P \) com autovalor 1.<br />2. Se \( v \perp W \), então \( P(v) = 0 \). Portanto, qualquer vetor ortogonal a \( W \) é um autovetor de \( P \) com autovalor 0.<br /><br />Dado que \( W \) é gerado por \( w_1 = (1, -1, 0, 1) \) e \( w_2 = (-1, 0, 1, 1) \), podemos encontrar uma base ortonormal para \( W \) usando o processo de Gram-Schmidt, mas para determinar os autovalores, basta saber que:<br /><br />- Os autovalores de \( P \) são 1 e 0.<br />- Os autovetores associados ao autovalor 1 são combinações lineares de \( w_1 \) e \( w_2 \).<br />- Os autovetores associados ao autovalor 0 são aqueles ortogonais a \( W \).<br /><br />(b) **Autovalores e autovetores do operador \( R \):**<br /><br />O operador de reflexão \( R \) sobre um subespaço \( W \) tem as seguintes propriedades:<br /><br />1. Se \( v \in W \), então \( R(v) = v \). Portanto, qualquer vetor em \( W \) é um autovetor de \( R \) com autovalor 1.<br />2. Se \( v \perp W \), então \( R(v) = -v \). Portanto, qualquer vetor ortogonal a \( W \) é um autovetor de \( R \) com autovalor -1.<br /><br />Assim, para o operador \( R \):<br /><br />- Os autovalores são 1 e -1.<br />- Os autovetores associados ao autovalor 1 são os mesmos que para \( P \), ou seja, combinações lineares de \( w_1 \) e \( w_2 \).<br />- Os autovetores associados ao autovalor -1 são aqueles ortogonais a \( W \).<br /><br />Para encontrar explicitamente os autovetores ortogonais a \( W \), pode-se completar a base de \( W \) para uma base de \( \mathbb{R}^4 \) e usar o produto interno para garantir a ortogonalidade.