Pr int cos(x)ln(sen(x))dx int _(0)^pi /3tcos(t)dt int sen^5(t)cos(t)dt

Para resolver a integral \(\int \cos(x) \ln(\sin(x)) \, dx\), podemos usar integração por partes. Vamos escolher \(u = \ln(\sin(x))\) e \(dv = \cos(x) \, dx\). Então, \(du = \frac{1}{\sin(x)} \cos(x) \, dx = \cot(x) \, dx\) e \(v = \sin(x)\).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), temos:<br /><br />\[<br />\int \cos(x) \ln(\sin(x)) \, dx = \sin(x) \ln(\sin(x)) - \int \sin(x) \cot(x) \, dx<br />\]<br /><br />Sabemos que \(\sin(x) \cot(x) = \cos(x)\), então a integral se simplifica para:<br /><br />\[<br />\int \cos(x) \ln(\sin(x)) \, dx = \sin(x) \ln(\sin(x)) - \int \cos(x) \, dx<br />\]<br /><br />A integral de \(\cos(x)\) é \(\sin(x)\), então temos:<br /><br />\[<br />\int \cos(x) \ln(\sin(x)) \, dx = \sin(x) \ln(\sin(x)) - \sin(x) + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração.<br /><br />Para resolver a integral \(\int_{0}^{\pi/3} t \cos(t) \, dt\), podemos usar integração por partes. Vamos escolher \(u = t\) e \(dv = \cos(t) \, dt\). Então, \(du = dt\) e \(v = \sin(t)\).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), temos:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{\pi/3} t \cos(t) \, dt = \left[ t \sin(t) \right]_{0}^{\pi/3} - \int_{0}^{\pi/3} \sin(t) \, dt<br />\]<br /><br />Calculando os limites de \(t \sin(t)\) de 0 a \(\pi/3\):<br /><br />\[<br />\left[ t \sin(t) \right]_{0}^{\pi/3} = \left( \frac{\pi}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) - \left( 0 \cdot \sin(0) \right) = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}<br />\]<br /><br />A integral de \(\sin(t)\) de 0 a \(\pi/3\) é \(-\cos(t)\) de 0 a \(\pi/3\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{\pi/3} \sin(t) \, dt = -\cos(t) \bigg|_{0}^{\pi/3} = -\left( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos(0) \right) = -\left( \frac{1}{2} - 1 \right) = \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Portanto, a integral é:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{\pi/3} t \cos(t) \, dt = \frac{\pi \sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2}<br />\]<br /><br />Para resolver a integral \(\int \sin^5(t) \cos(t) \, dt\), podemos usar integração por partes. Vamos escolher \(u = \sin^5(t)\) e \(dv = \cos(t) \, dt\). Então, \(du = 5 \sin^4(t) \cos(t) \, dt\) e \(v = \sin(t)\).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\), temos:<br /><br />\[<br />\int \sin^5(t) \cos(t) \, dt = \sin(t) \sin^5(t) - \int \sin(t) \cdot 5 \sin^4(t) \cos(t) \, dt<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />\int \sin^5(t) \cos(t) \, dt = \sin^6(t) - 5 \int \sin^5(t) \cos^2(t) \, dt