19) Sendo overrightarrow (u),overrightarrow (v),overrightarrow (w) três vetores não nulos se overrightarrow (u)cdot overrightarrow (v)=overrightarrow (u)cdot overrightarrow (w) mostrar, com um exemplo,que neces- sariamente não temos overrightarrow (v)=overrightarrow (w)

Para mostrar que não necessariamente temos $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{w}$, vamos considerar um exemplo específico.<br /><br />Vamos considerar três vetores não nulos $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$ tais que $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$. Vamos escolher $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$ de forma que $\overrightarrow{u}$ seja perpendicular a $\overrightarrow{v}$ e $\overrightarrow{w}$.<br /><br />Por exemplo, vamos considerar $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ e $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$.<br /><br />Calculando os produtos escalar dos vetores, temos:<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0$<br /><br />$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3$<br /><br />Portanto, $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$, mas claramente $\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{w}$.<br /><br />Isso mostra que a igualdade dos produtos escalar não implica necessariamente que os vetores sejam iguais.