2 1cdot 2+2cdot 3+3cdot 4+... +(n-1)n=(n(n-1)(n+1))/(3)

Para provar a fórmula dada, podemos usar indução matemática. Vamos começar verificando o caso base, que é quando n = 1. Nesse caso, a expressão se torna 0, e o lado direito da fórmula também se torna 0, então a fórmula é verdadeira para n = 1.<br /><br />Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para um certo valor de n, ou seja, assumimos que:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n=\frac {n(n-1)(n+1)}{3}$<br /><br />Agora, vamos provar que a fórmula também é verdadeira para n + 1. Para isso, vamos adicionar n \cdot (n + 1) em ambos os lados da equação acima:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)}{3}+n\cdot (n+1)$<br /><br />Simplificando o lado direito da equação, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Fatorando n(n+1) no numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +(n-1)n+n\cdot (n+1)=\frac {n(n-1)(n+1)+3n(n+1)}{3}$<br /><br />Simplificando o numerador, temos:<br /><br />$1\cdot 2