Exemplo 2: Represente graficamente a função y=-x^2-4cdot x Para isso: a) Calcule as raizes da função: Delta =b^2-4cdot acdot c x_(1)=(-b+sqrt (3))/(2a)

Para calcular as raízes da função $y=-x^{2}-4\cdot x$, precisamos utilizar a fórmula de Bhaskara. Primeiro, identificamos os coeficientes da função: $a=-1$, $b=-4$ e $c=0$.<br /><br />Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />$\Delta = b^{2} - 4 \cdot a \cdot c$<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />$\Delta = (-4)^{2} - 4 \cdot (-1) \cdot 0$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\Delta = 16 - 0$<br /><br />Portanto, $\Delta = 16$.<br /><br />Agora, podemos calcular as raízes utilizando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />$x_{1} = \frac{-(-4) + \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$x_{1} = \frac{4 + 4}{-2}$<br /><br />Portanto, $x_{1} = -4$.<br /><br />Como $\Delta$ é um número positivo, a função possui duas raízes reais distintas. Para encontrar a segunda raiz, utilizamos a fórmula de Bhaskara novamente:<br /><br />$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />$x_{2} = \frac{-(-4) - \sqrt{16}}{2 \cdot (-1)}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$x_{2} = \frac{4 - 4}{-2}$<br /><br />Portanto, $x_{2} = 0$.<br /><br />Assim, as raízes da função são $x_{1} = -4$ e $x_{2} = 0$.<br /><br />Para representar graficamente a função $y=-x^{2}-4\cdot x$, podemos utilizar essas raízes como pontos de referência. Podemos traçar uma reta x e marcar os pontos $x_{1} = -4$ e $x_{2} = 0$ nessa reta. Em seguida, podemos utilizar esses pontos para determinar a forma da parábola.<br /><br />Como a função é uma parábola voltada para baixo (pois o coeficiente de $x^{2}$ é negativo), podemos traçar uma curva que passe pelos pontos $x_{1} = -4$ e $x_{2} = 0$, e que atinja o ponto mais alto da parábola no vértice.<br /><br />Para determinar o vértice da parábola, podemos utilizar a fórmula $x = -\frac{b}{2a}$. Substituindo os valores, temos:<br /><br />$x = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$x = -\frac{4}{-2}$<br /><br />Portanto, $x = 2$.<br /><br />Para encontrar o valor de $y$ no vértice, substituímos $x = 2$ na função:<br /><br />$y = -(2)^{2} - 4 \cdot 2$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$y = -4 - 8$<br /><br />Portanto, $y = -12$.<br /><br />Assim, o vértice da parábola é o ponto $(2, -12)$.<br /><br />Podemos traçar a parábola utilizando esses pontos de referência e a forma da parábola. A parábola será voltada para baixo, passará pelos pontos $x_{1} = -4$ e $x_{2} = 0$, e terá o vértice em $(2, -12)$.