Uma placa metálica circular com um metro de raio está colocada com centro na origem do plano xy e é aquecida de modo que a temperatura num ponto (x,y) é dada por T(x,y)=64(3x^2-2xy+3y^2+2y+5) graus, onde x e y estão em metros . Encontre a maior e a menor temperatura na placa.

Para encontrar a maior e a menor temperatura na placa, precisamos analisar a função de temperatura fornecida:<br /><br />$T(x,y) = 64(3x^{2} - 2xy + 3y^{2} + 2y + 5)$<br /><br />Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função, podemos calcular as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero para encontrar os pontos críticos.<br /><br />Derivando em relação a x:<br />$\frac{\partial T}{\partial x} = 64(6x - 2y) = 0$<br /><br />Derivando em relação a y:<br />$\frac{\partial T}{\partial y} = 64(-2x + 6y + 2) = 0$<br /><br />Resolvendo essas equações simultaneamente, encontramos o ponto crítico:<br /><br />$6x - 2y = 0$<br />$-2x + 6y + 2 = 0$<br /><br />Resolvendo o sistema, encontramos que o ponto crítico é $(0, 1/3)$.<br /><br />Para determinar se esse ponto é um máximo ou mínimo, podemos calcular a segunda derivada:<br /><br />$\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = 64(6) = 384$<br />$\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} = 64(6) = 384$<br />$\frac{\partial^2 T}{\partial x \partial y} = 64(-2) = -128$<br /><br />Usando a matriz Hessiana:<br /><br />$H = \begin{bmatrix}<br />384 & -128 \\<br />-128 & 384<br />\end{bmatrix}$<br /><br />Calculando o determinante:<br /><br />$\text{det}(H) = 384 \cdot 384 - (-128) \cdot (-128) = 147456 - 16384 = 130872$<br /><br />Como o determinante é positivo e a segunda derivada em x é positiva, o ponto crítico $(0, 1/3)$ é um mínimo.<br /><br />Para encontrar a maior temperatura, podemos calcular o valor máximo da função em uma fronteira da placa. Como a placa é circular, podemos calcular a temperatura ao longo de um círculo de raio 1 metro centrado na origem:<br /><br />$x = \cos(\theta)$<br />$y = \sin(\theta)$<br /><br />Substituindo na função de temperatura:<br /><br />$T(\cos(\theta), \sin(\theta)) = 64(3\cos^2(\theta) - 2\cos(\theta)\sin(\theta) + 3\sin^2(\theta) + 2\sin(\theta) + 5)$<br /><br />Para encontrar o valor máximo, podemos usar métodos numéricos ou software de otimização. No entanto, podemos observar que a temperatura será máxima quando $x = 1$ e $y = 0$, o que ocorre no ponto $(1, 0)$.<br /><br />Portanto, a maior temperatura na placa é encontrada no ponto $(1, 0)$ e a menor temperatura é encontrada no ponto $(0, 1/3)$.