0.5 b) Sc possível.determine a equação do plano tangente ao gráfico dc f cm (0.0,f(0,0)) curva varphi (t)=(e^-tcos(t),e^-tsin(t),e^-t) ) com

Para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da curva \(\varphi(t) = (e^{-t}\cos(t), e^{-t}\sin(t), e^{-t})\) no ponto \((0,0)\), precisamos encontrar o vetor diretor do plano tangente.<br /><br />Primeiro, vamos calcular a derivada da curva \(\varphi(t)\) em relação a \(t\):<br /><br />\[<br />\varphi'(t) = \left( \frac{d}{dt}(e^{-t}\cos(t)), \frac{d}{dt}(e^{-t}\sin(t)), \frac{d}{dt}(e^{-t}) \right)<br />\]<br /><br />Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, temos:<br /><br />\[<br />\varphi'(t) = \left( -e^{-t}\cos(t) - e^{-t}\sin(t), -e^{-t}\sin(t) - e^{-t}\cos(t), -e^{-t} \right)<br />\]<br /><br />Agora, vamos avaliar \(\varphi'(t)\) no ponto \(t = 0\):<br /><br />\[<br />\varphi'(0) = \left( -e^{0}\cos(0) - e^{0}\sin(0), -e^{0}\sin(0) - e^{0}\cos(0), -e^{0} \right)<br />\]<br /><br />\[<br />\varphi'(0) = \left( -1 \cdot 1 - 1 \cdot 0, -1 \cdot 0 - 1 \cdot 1, -1 \right)<br />\]<br /><br />\[<br />\varphi'(0) = \left( -1, -1, -1 \right)<br />\]<br /><br />Portanto, o vetor diretor do plano tangente é \(\left( -1, -1, -1 \right)\).<br /><br />A equação do plano tangente pode ser escrita como:<br /><br />\[<br />-1(x - 0) - 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />-x - y - z = 0<br />\]<br /><br />Portanto, a equação do plano tangente ao gráfico da curva \(\varphi(t)\) no ponto \((0,0)\) é \(x + y + z = 0\).