8) Um fabricante possui uma encomenda de 2 .000 unidades de pneus para quadriciclos, que podem ser produzidos em dois locais . Assuma que x e y sejam os números de unidades produzidas nas duas fabricas. A função de custo é modelada por C=0,25x^2+10x+0,15y^2+12y Determine quantas unidades devem ser produzidas em cada fabrica de forma a minimizar o custo.

Para minimizar o custo, precisamos encontrar os valores de x e y que tornem a função de custo C mínima. Para isso, podemos utilizar o método dos mínimos locais, que consiste em encontrar os pontos onde as derivadas parciais de C em relação a x e y são iguais a zero.<br /><br />Derivando C em relação a x, temos:<br /><br />$\frac{\partial C}{\partial x} = 0,5x + 10$<br /><br />Derivando C em relação a y, temos:<br /><br />$\frac{\partial C}{\partial y} = 0,3y + 12$<br /><br />Igualando as derivadas parciais a zero, temos:<br /><br />$0,5x + 10 = 0$<br /><br />$0,3y + 12 = 0$<br /><br />Resolvendo essas equações, encontramos:<br /><br />$x = -20$<br /><br />$y = -40$<br /><br />No entanto, esses valores negativos não fazem sentido no contexto do problema, pois não podemos produzir unidades negativas. Portanto, precisamos verificar se há outros pontos que possam ser considerados.<br /><br />Podemos observar que a função de custo é uma função quadrática, o que significa que ela possui um valor mínimo. Para encontrar esse valor mínimo, podemos utilizar o método de completar o quadrado.<br /><br />Reescrevendo a função de custo, temos:<br /><br />$C = 0,25(x^2 + 40x) + 0,15(y^2 + 80y) + 10x + 12y$<br /><br />Completando o quadrado, temos:<br /><br />$C = 0,25(x^2 + 40x + 400) + 0,15(y^2 + 80y + 1600) + 10x + 12y - 100 - 240$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$C = 0,25(x + 20)^2 + 0,15(y + 40)^2 + 10x + 12y - 340$<br /><br />Podemos observar que o valor mínimo da função de custo ocorre quando x + 20 = 0 e y + 40 = 0, ou seja, quando x = -20 e y = -40. No entanto, como mencionado anteriormente, esses valores negativos não fazem sentido no contexto do problema.<br /><br />Portanto, precisamos encontrar outros pontos que possam ser considerados. Uma maneira de fazer isso é utilizar a restrição de que a soma de x e y deve ser igual a 2000 unidades. Isso pode ser feito substituindo y por 2000 - x na função de custo e resolvendo a equação resultante.<br /><br />Substituindo y por 2000 - x na função de custo, temos:<br /><br />$C = 0,25x^2 + 10x + 0,15(2000 - x)^2 + 12(2000 - x)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$C = 0,25x^2 + 10x + 0,15(4000000 - 4000x + x^2) + 24000 - 12x$<br /><br />$C = 0,25x^2 + 10x + 600000 - 600x + 0,15x^2 - 600x + 24000 - 12x$<br /><br />$C = 0,4x^2 - 598x + 624000$<br /><br />Para encontrar o valor mínimo dessa função, podemos utilizar o método dos mínimos locais, igualando as derivadas parciais a zero:<br /><br />$\frac{dC}{dx} = 0,8x - 598 = 0$<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />$x = 745,5$<br /><br />Substituindo esse valor de x na restrição de que a soma de x e y deve ser igual a 2000 unidades, temos:<br /><br />$745,5 + y = 2000$<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos:<br /><br />$y = 1254,5$<br /><br />Portanto, para minimizar o custo, o fabricante deve produzir aproximadamente 745,5 unidades na primeira fábrica e 1254,5 unidades na segunda fábrica.