1. Verifique que W= (x,y)in R^2/y=-6x é um subespaço do H^2

Para verificar se $W$ é um subespaço de $H^{2}$, precisamos verificar três condições $W$ não é vazio.<br />2. Se $u = (x_1, y_1) \in W$ e $v = (x_2, y_2) \in W$, então $u + v \in W$.<br />3. Se $u = (x, y) \in W$ e $k \in \mathbb{R}$, então $ku \in W$.<br /><br />Vamos verificar cada uma dessas condições:<br /><br />1. $W$ não é vazio: Podemos verificar que $(0, 0) \in W$, pois $0 = -6 \cdot 0$. Portanto, $W$ não é vazio.<br /><br />2. Se $u = (x_1, y_1) \in $v = (x_2, y_2) \in W$, então $u + v \in W$: Seja $u = (x_1, y_1)$ e $v = (x_2, y_2)$ tais que $y_1 = -6x_1$ e $y_2 = -6x_2$. Então, $(u + v) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$. Como $y_1 + y_2 = -6(x_1 + x_2)$, temos que $u + v \in W$.<br /><br />3. Se $u = (x, y) \in W$ e $in \mathbb{R}$, então $ku \in W$: Seja $u = (x, y)$ tal que $y = -6x$. Então, $ku = (kx, ky)$. Como $ky = -6(kx)$, temos que $ku \in W$.<br /><br />Portanto, todas as três condições são satisfeitas, o que implica que $W$ é um subespaço de $H^{2}$.