4. Calcule: a) 4!+6! b) (11!)/(8!) c) (5!.4!)/(4!.3!) d) (11!)/(11!+10!)

Vamos calcular cada uma das expressões fornecidas:<br /><br />a) \(4! + 6!\)<br /><br />Primeiro, calculamos os fatoriais:<br />- \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)<br />- \(6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720\)<br /><br />Agora, somamos os dois resultados:<br />\[4! + 6! = 24 + 720 = 744\]<br /><br />b) \(\frac{11!}{8!}\)<br /><br />Primeiro, calculamos os fatoriais:<br />- \(11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)<br />- \(8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)<br /><br />Podemos simplificar a divisão:<br />\[\frac{11!}{8!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8!}{8!} = 11 \times 10 \times 9 = 990\]<br /><br />c) \(\frac{5! \cdot 4!}{4! \cdot 3!}\)<br /><br />Primeiro, calculamos os fatoriais:<br />- \(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)<br />- \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)<br />- \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)<br /><br />Agora, substituímos e simplificamos:<br />\[\frac{5! \cdot 4!}{4! \cdot 3!} = \frac{120 \times 24}{24 \times 6} = \frac{120}{6} = 20\]<br /><br />d) \(\frac{11!}{11! + 10!}\)<br /><br />Primeiro, calculamos os fatoriais:<br />- \(11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)<br />- \(10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\)<br /><br />Podemos simplificar a divisão:<br />\[\frac{11!}{11! + 10!} = \frac{11!}{11! + 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\]<br /><br />Como \(10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\), temos:<br />\[\frac{11!}{11! + 10!} = \frac{11!}{11! + 10!}\]<br /><br />Para simplificar ainda mais, podemos observar que \(11! = 11 \times 10!\), então:<br />\[\frac{11!}{11! + 10!} = \frac{11 \times 10!}{11 \times 10! + 10!} = \frac{11 \times 10!}{(11 + 1) \times 10!} = \frac{11 \times 10!}{12 \times 10!} = \frac{11}{12}\]<br /><br />Portanto, a resposta final é:<br />\[\frac{11!}{11! + 10!} = \frac{11}{12}\]