Determine a integral de linha do campo vetorial abaixo em relação a curva c dada. overrightarrow (F)(x,y,z)=x^2overrightarrow (i)+xyoverrightarrow (j)+z^2overrightarrow (k) c overrightarrow (r)(t)=sentoverrightarrow (i)+costoverrightarrow (j)+t^2overrightarrow (k) 0leqslant tleqslant (pi )/(2) 0,3608 0,039 a 4,6739 4,4836 5,0072

Para determinar a integral de linha do campo vetorial em relação à curva dada, precisamos calcular a integral da diferença entre as coordenadas do campo vetorial ao longo da curva.<br /><br />Dado o campo vetorial $\overrightarrow{F}(x,y,z)=x^{2}\overrightarrow{i}+xy\overrightarrow{j}+z^{2}\overrightarrow{k}$ e a curva $\overrightarrow{r}(t)=\sin(t)\overrightarrow{i}+\cos(t)\overrightarrow{j}+t^{2}\overrightarrow{k}$ para $0\leqslant t\leqslant \frac{\pi}{2}$, podemos calcular a integral de linha da seguinte forma:<br /><br />$\int_{C} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}(t)) \cdot \overrightarrow{r}'(t)) dt$<br /><br />Calculando as derivadas:<br /><br />$\overrightarrow{r}'(t) = \cos(t)\overrightarrow{i} - \sin(t)\overrightarrow{j} + 2t\overrightarrow{k}$<br /><br />Substituindo na integral:<br /><br />$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}(t)) \cdot \overrightarrow{r}'(t)) dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} ((\sin(t)^{2}\overrightarrow{i} + \sin(t)\cos(t)\overrightarrow{j} + t^{4}\overrightarrow{k}) \cdot (\cos(t)\overrightarrow{i} - \sin(t)\overrightarrow{j} + 2t\overrightarrow{k})) dt$<br /><br />Simplificando a integral:<br /><br />$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(t)^{2}\cos(t) - \sin(t)\cos(t)\sin(t) + t^{4}) dt$<br /><br />$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(t)^{2}\cos(t) - \sin^{2}(t)\cos(t) + t^{4}) dt$<br /><br />$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^{2}(t)\cos(t) - \sin^{2}(t)\cos(t) + t^{4}) dt$<br /><br />$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (t^{4}) dt$<br /><br />Agora, podemos calcular a integral:<br /><br />$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t^{4} dt = \left[\frac{t^{5}}{5}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{5}}{5} = \frac{\pi^{5}}{80}$<br /><br />Portanto, a integral de linha do campo vetorial em relação à curva dada é $\frac{\pi^{5}}{80}$.