48. No início do estudo de progressão geométrica, foram apresentadas as primeiras figuras que podem ser construídas para obter o fractal conhecido por Triângulo de Sierpinski. De acordo com essas informações, junte-se a um colega e resolvam os itens a seguir. a) Determinem a quantidade de triângulos em preto que compōem a figura 7 no processo de construção desse fractal. b) Qual figura do processo de construção desse fractalécompostapor 19683 triângulos em preto? c) Considere que, na figura 1, o triângulo em preto tem 1 m de lado. Em seguida,escreva osquatro primeiros termos de uma sequên- cia numérica que indique ordenadamente, a medida do lado dos triângulos em preto que compōem as figuras para construir o Triângulo de Sierpinski. d)A sequência que você escreveu no item cé uma PA ou uma PG?Justifique. Determine afórmulado termo geral dessa progressão. e) Qual é 0 perímetro de cada triângulò em preto que compōe a figura 6?

a) Para determinar a quantidade de triângulos em preto que compõem a figura 7, podemos usar a fórmula da progressão geométrica: \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\), onde \(a_1\) é o primeiro termo e \(r\) é a razão. No caso do Triângulo de Sierpinski, o primeiro termo \(a_1\) é 1 e a razão \(r\) é \(\frac{1}{2}\). Substituindo esses valores na fórmula, temos: \(a_7 = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = \frac{1}{64}\). Portanto, a figura 7 é composta por 64 triângulos em preto.<br /><br />b) Para determinar a figura composta por 19683 triângulos em preto, podemos usar a mesma fórmula da progressão geométrica. Substituindo \(a_n = 19683\) e \(a_1 = 1\) na fórmula, temos: \(19683 = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{m}\). Resolvendo essa equação, encontramos \(m = 11\). Portanto, a figura composta por 19683 triângulos em preto é a figura 11.<br /><br />c) Para escrever os quatro primeiros termos de uma sequência numérica que indique ordenadamente a medida do lado dos triângulos em preto que compõem as figuras para construir o Triângulo de Sierpinski, podemos usar a fórmula da progressão geométrica. No caso, o primeiro termo \(a_1\) é 1 e a razão \(r\) é \(\frac{1}{2}\). Portanto, os quatro primeiros termos da sequência são: 1, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\).<br /><br />d) A sequência que escrevemos no item c) é uma progressão geométrica (PG), pois a razão entre os termos consecutivos é constante (\(\frac{1}{2}\)). O termo geral dessa progressão é dado por \(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\), onde \(a_1\) é o primeiro termo e \(r\) é a razão. Portanto, o termo geral dessa progressão é \(a_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).<br /><br />e) Para determinar o perímetro de cada triângulo em preto que compõe a figura 6, podemos usar a fórmula do termo geral da sequência numérica que indica a medida do lado dos triângulos em preto. No caso, o termo geral é \(a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). Substituindo \(n = 6\) na fórmula, temos: \(a_6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{1}{32}\). Portanto, o perímetro de cada triângulo em preto que compõe a figura 6 é 3 \(\times\) \(\frac{1}{32}\) = \(\frac{3}{32}\) metros.