Encontre o intervalo em que a funcão F(x)=2 x^wedge 2-4 x+4 é positivo.

Para encontrar o intervalo em que a função \( F(x) = 2x^2 - 4x + 4 \) é positiva, primeiro precisamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, igualamos a função a zero e resolvemos a equação:<br /><br />\( 2x^2 - 4x + 4 = 0 \)<br /><br />Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 2:<br /><br />\( x^2 - 2x + 2 = 0 \)<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação quadrática usando o método de fatoração, completando o quadrado ou a fórmula de Bhaskara. Neste caso, a fórmula de Bhaskara é mais adequada:<br /><br />\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)<br /><br />Onde a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. Neste caso, a = 1, b = -2 e c = 2. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />\( x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} \)<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:<br /><br />\( x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} \)<br /><br />Como a expressão dentro da raiz é negativa, não há soluções reais para essa equação. Portanto, a função \( F(x) = 2x^2 - 4x + 4 \) não possui pontos críticos reais.<br /><br />Agora, podemos analisar o comportamento da função para determinar o intervalo em que ela é positiva. Podemos fazer isso plotando a função ou analisando seus coeficientes.<br /><br />Observando a função \( F(x) = 2x^2 - 4x + 4 \), podemos ver que o coeficiente de \( x^2 \) é positivo, o que indica que a parábola é aberta para cima. Além disso, o termo constante é positivo, o que indica que a função tem um valor mínimo.<br /><br />Portanto, a função \( F(x) = 2x^2 - 4x + 4 \) é positiva para todos os valores de x. Ou seja, o intervalo em que a função é positiva é o conjunto de todos os números reais.