Se o comprimen to original x do lado de um cubo de 24 m di- minui à taxa de 5m/min quando x=3 , a que taxa a. a área da superficie do cubo varia? b. o volume do cubo varia?

Para resolver essas questões, precisamos calcular as derivadas necessárias.<br /><br />a. A área da superfície do cubo varia à taxa de $-120m^2/min$.<br /><br />Para calcular isso, primeiro precisamos encontrar a fórmula para a área da superfície de um cubo. A área da superfície de um cubo é dada por $6x^2$, onde $x$ é o comprimento de um lado do cubo.<br /><br />Em seguida, derivamos essa fórmula em relação a $x$ para encontrar a taxa de variação da área da superfície em relação ao comprimento do lado. A derivada de $6x^2$ em relação a $x$ é $12x$.<br /><br />Agora, substituímos o valor de $x=3$ na derivada para encontrar a taxa de variação da área da superfície quando $x=3$. Temos $12(3) = 36$.<br /><br />No entanto, o problema afirma que o comprimento do lado do cubo diminui à taxa de $5m/min$ quando $x=3$. Portanto, precisamos considerar esse fato ao calcular a taxa de variação da área da superfície.<br /><br />Para isso, usamos a regra da cadeia. Seja $A(x)$ a área da superfície do cubo e $x$ o comprimento do lado do cubo. Então, temos $A(x) = 6x^2$ e $\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$.<br /><br />Substituindo os valores conhecidos, temos $\frac{dA}{dt} = 12x \cdot \frac{dx}{dt} = 12(3) \cdot (-5) = -120m^2/min$.<br /><br />Portanto, a área da superfície do cubo varia à taxa de $-120m^2/min$.<br /><br />b. O volume do cubo varia à taxa de $-60m^3/min$.<br /><br />Para calcular isso, primeiro precisamos encontrar a fórmula para o volume de um cubo. O volume de um cubo é dado por $x^3$, onde $x$ é o comprimento de um lado do cubo.<br /><br />Em seguida, derivamos essa fórmula em relação a $x$ para encontrar a taxa de variação do volume em relação ao comprimento do lado. A derivada de $x^3$ em relação a $x$ é $3x^2$.<br /><br />Agora, substituímos o valor de $x=3$ na derivada para encontrar a taxa de variação do volume quando $x=3$. Temos $3(3^2) = 27$.<br /><br />No entanto, o problema afirma que o comprimento do lado do cubo diminui à taxa de $5m/min$ quando $x=3$. Portanto, precisamos considerar esse fato ao calcular a taxa de variação do volume.<br /><br />Para isso, usamos a regra da cadeia. Seja $V(x)$ o volume do cubo e $x$ o comprimento do lado do cubo. Então, temos $V(x) = x^3$ e $\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$.<br /><br />Substituindo os valores conhecidos, temos $\frac{dV}{dt} = 3x^2 \cdot \frac{dx}{dt} = 3(3^2) \cdot (-5) = -135m^3/min$.<br /><br />Portanto, o volume do cubo varia à taxa de $-135m^3/min$.