Demonstrar por "indução matemática". 2^ngt n^2 forall ngeqslant 5,nin N

Para demonstrar por indução matemática que \(2^n > n^2\) para todo \(n \geq 5\), onde \(n\) é um número natural, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />### Passo 1: Base da indução<br />Verificamos a afirmação para \(n = 5\).<br /><br />\[2^5 = 32\]<br />\[5^2 = 25\]<br /><br />Portanto, \(2^5 > 5^2\). A base da indução é verdadeira.<br /><br />### Passo 2: Passo da indução<br />Supomos que a afirmação é verdadeira para algum \(k \geq 5\), ou seja, supomos que \(2^k > k^2\).<br /><br />Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para \(k + 1\), ou seja, queremos mostrar que \(2^{k+1} > (k+1)^2\).<br /><br />Começamos multiplicando ambos os lados da suposição \(2^k > k^2\) por 2:<br /><br />\[2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2\]<br /><br />Isso nos dá:<br /><br />\[2^{k+1} > 2k^2\]<br /><br />Agora, precisamos mostrar que \(2k^2 > (k+1)^2\). Expandimos o lado direito:<br /><br />\[2k^2 > k^2 + 2k + 1\]<br /><br />Subtraímos \(k^2\) de ambos os lados:<br /><br />\[k^2 > 2k + 1\]<br /><br />Esta desigualdade é verdadeira para \(k \geq 5\), pois:<br /><br />Para \(k = 5\):<br />\[5^2 = 25 > 11\]<br /><br />Para \(k = 6\):<br />\[6^2 = 36 > 13\]<br /><br />E assim por diante. Portanto, \(k^2 > 2k + 1\) para \(k \geq 5\).<br /><br />Assim, temos que \(2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2\).<br /><br />### Conclusão<br />Pelo princípio de indução matemática, a afirmação \(2^n > n^2\) é verdadeira para todo \(n \geq 5\), onde \(n\) é um número natural.