Use a Regra da cadeia para calcular (partial z)/(partial s) quando z=3y^2+2x onde x=t+2sey=3t+s

Para calcular $\frac {\partial z}{\partial s}$ usando a Regra da Cadeia, primeiro precisamos encontrar as derivadas parciais de $z$ em relação a $x$ e $y$, e as derivadas de $x$ e $y$ em relação a $s$ e $t$.<br /><br />Dada a função $z=3y^{2}+2x$, podemos calcular as derivadas parciais de $z$ em relação a $x$ e $y$:<br /><br />$\frac {\partial z}{\partial x} = 2$<br /><br />$\frac {\partial z}{\partial y} = 6y$<br /><br />Agora, precisamos encontrar as derivadas de $x$ e $y$ em relação a $s$ e $t$:<br /><br />$\frac {\partial x}{\partial s} = 2e^{sy}$<br /><br />$\ x}{\partial t} = 0$<br /><br />$\frac {\partial y}{\partial s} = 3e^{sy}$<br /><br />$\frac {\partial y}{\partial t} = 3$<br /><br />Agora, podemos aplicar a Regra da Cadeia para calcular $\frac {\partial z}{\partial s}$:<br /><br />$\frac {\partial z}{\partial s} = \frac {\partial z}{\partial x} \cdot \frac {\partial x}{\partial s} + \frac {\partial z}{\partial y} \cdot \frac {\partial y}{\partial s}$<br /><br />Substituindo os valores encontrados anteriormente, temos:<br /><br />$\frac {\partial z}{\partial s} = 2 \cdot 2e^{sy} + 6y \cdot 3e^{sy}$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />$\frac {\partial z}{\partial s} = 4e^{sy} + 18ye^{sy}$<br /><br />Portanto, a derivada de $z$ em relação a $s$ é $\frac {\partial z}{\partial s} = 4e^{sy} + 18ye^{sy}$.