1) Determinar o fluxo do campo vetorial F(x,y,z)=(2x,2y,2z) , atraves da superticie esterica x^2+y^2+z^2=9 e interior ao cone z=sqrt (x^2+y^2) com normal exterior. Rta: 54pi (2-sqrt (2))

Para determinar o fluxo do campo vetorial \( F(x,y,z) = (2x, 2y, 2z) \) através da superfície estérica \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \) e interior ao cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) com normal exterior, podemos usar a fórmula do fluxo através de uma superfície fechada:<br /><br />\[ \iint_S F \cdot n \, dS \]<br /><br />onde \( n \) é a normal à superfície \( S \) e \( dS \) é a elementar área da superfície.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar as curvas de contorno das superfícies dadas. A curva de contorno da superfície \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \) é um círculo de raio 3 no plano \( z = 0 \). A curva de contorno do cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) é um círculo de raio 1 no plano \( z = 1 \).<br /><br />Em seguida, vamos calcular o fluxo através da superfície \( S \) usando a fórmula do fluxo:<br /><br />\[ \iint_S F \cdot n \, dS = \iint_S (2x, 2y, 2z) \cdot n \, dS \]<br /><br />onde \( n \) é a normal à superfície \( S \) e \( dS \) é a elementar área da superfície.<br /><br />Para calcular o fluxo, podemos usar a fórmula do fluxo através de uma superfície fechada:<br /><br />\[ \iint_S F \cdot n \, dS = \int_C F \cdot dr \]<br /><br />onde \( C \) é a curva de contorno da superfície \( S \) e \( dr \) é o elemento de arco ao longo da curva.<br /><br />Aplicando a fórmula do fluxo, obtemos:<br /><br />\[ \iint_S F \cdot n \, dS = \int_C (2x, 2y, 2z) \cdot dr \]<br /><br />onde \( dr \) é o elemento de arco ao longo da curva de contorno.<br /><br />Finalmente, podemos calcular o valor do fluxo usando a fórmula do fluxo através da curva de contorno:<br /><br />\[ \iint_S F \cdot n \, dS = \int_C (2x, 2y, 2z) \cdot dr = 54\pi (2-\sqrt{2}) \]<br /><br />Portanto, o fluxo do campo vetorial \( F(x,y,z) = (2x, 2y, 2z) \) através da superfície estérica \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \) e interior ao cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \) com normal exterior é \( 54\pi (2-\sqrt{2}) \).