03. Dados os termos de uma PG calcule o que se pede: a) a_(1)=7 e a_(5)=112 Calcule a_(4) e S_(9) b) a_(2)=17 e a7=-4131 Calcule a_(4)eS_(7) c) a_(5)=14 e a_(8)=14 Calcule a_(10)eS_(10)

Vamos resolver cada item da questão:<br /><br />### a) \(a_{1}=7\) e \(a_{5}=112\)<br /><br />Para encontrar \(a_{4}\) e \(S_{9}\), precisamos usar as fórmulas da progressão geométrica (PG).<br /><br />1. **Encontrar a razão \(q\):**<br /><br />\[ a_{5} = a_{1} \cdot q^{4} \]<br /><br />\[ 112 = 7 \cdot q^{4} \]<br /><br />\[ q^{4} = \frac{112}{7} \]<br /><br />\[ q^{4} = 16 \]<br /><br />\[ q = \sqrt[4]{16} \]<br /><br />\[ q = 2 \]<br /><br />2. **Calcular \(a_{4}\):**<br /><br />\[ a_{4} = a_{1} \cdot q^{3} \]<br /><br />\[ a_{4} = 7 \cdot 2^{3} \]<br /><br />\[ a_{4} = 7 \cdot 8 \]<br /><br />\[ a_{4} = 56 \]<br /><br />3. **Calcular \(S_{9}\):**<br /><br />\[ S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} \]<br /><br />\[ S_{9} = 7 \cdot \frac{2^{9} - 1}{2 - 1} \]<br /><br />\[ S_{9} = 7 \cdot (2^{9} - 1) \]<br /><br />\[ S_{9} = 7 \cdot (512 - 1) \]<br /><br />\[ S_{9} = 7 \cdot 511 \]<br /><br />\[ S_{9} = 3577 \]<br /><br />Portanto, \(a_{4} = 56\) e \(S_{9} = 3577\).<br /><br />### b) \(a_{2}=17\) e \(a_{7}=-4131\)<br /><br />1. **Encontrar a razão \(q\):**<br /><br />\[ a_{7} = a_{2} \cdot q^{5} \]<br /><br />\[ -4131 = 17 \cdot q^{5} \]<br /><br />\[ q^{5} = \frac{-4131}{17} \]<br /><br />\[ q^{5} = -243 \]<br /><br />\[ q = \sqrt[5]{-243} \]<br /><br />\[ q = -3 \]<br /><br />2. **Calcular \(a_{4}\):**<br /><br />\[ a_{4} = a_{2} \cdot q^{2} \]<br /><br />\[ a_{4} = 17 \cdot (-3)^{2} \]<br /><br />\[ a_{4} = 17 \cdot 9 \]<br /><br />\[ a_{4} = 153 \]<br /><br />3. **Calcular \(S_{7}\):**<br /><br />\[ S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1} \]<br /><br />Para encontrar \(a_{1}\), usamos \(a_{2}\) e \(q\):<br /><br />\[ a_{2} = a_{1} \cdot q \]<br /><br />\[ 17 = a_{1} \cdot (-3) \]<br /><br />\[ a_{1} = \frac{17}{-3} \]<br /><br />\[ a_{1} = -\frac{17}{3} \]<br /><br />Agora, calculamos \(S_{7}\):<br /><br />\[ S_{7} = -\frac{17}{3} \cdot \frac{(-3)^{7} - 1}{-3 - 1} \]<br /><br />\[ S_{7} = -\frac{17}{3} \cdot \frac{-2187 - 1}{-4} \]<br /><br />\[ S_{7} = -\frac{17}{3} \cdot \frac{-2188}{-4} \]<br /><br />\[ S_{7} = -\frac{17}{3} \cdot 547 \]<br /><br />\[ S_{7} = -\frac{17 \cdot 547}{3} \]<br /><br />\[ S_{7} = -\frac{9269}{3} \]<br /><br />\[ S_{7} = -3089.67 \]<br /><br />Portanto, \(a_{4} = 153\) e \(S_{7} = -3089.67\).<br /><br />### c) \(a_{5}=14\) e \(a_{8}=14\)<br /><br />Para encontrar \(a_{10}\) e \(S_{10}\), precisamos usar as fórmulas da progressão geométrica (PG).<br /><br />1. **Encontrar a razão \(q\):**<br /><br />\[ a_{8} = a_{5} \cdot q^{3} \]<br /><br />\[ 14 = 14 \cdot q^{3} \]<br /><br />\[ q^{3} = 1 \]<br /><br />\[ q = 1 \]<br /><br />2. **Calcular \(a_{10}\):**<br /><br />Como \(q =