05. (USP)Uma das diagonais de um quadrado tem extremi- dades A(1;1) e C(3;3) . As coordenadas dos outros dois vértices são: A) (2;3) e (3;2) B) (3;1) e (1;3) C) (3;0) e (1;4) D) (5;2) e (4;1) E) nenhuma das anteriores

Para encontrar as coordenadas dos outros dois vértices do quadrado, podemos usar o fato de que as diagonais de um quadrado se cruzam em seu ponto médio, que também é o centro do quadrado.<br /><br />O ponto médio entre A(1;1) e C(3;3) é:<br /><br />$M\left(\frac{1+3}{2}; \frac{1+3}{2}\right) = M(2;2)$<br /><br />Portanto, o centro do quadrado é (2;2).<br /><br />Como o quadrado tem lados de mesma medida, a distância entre A e M é igual à distância entre M e C. Podemos calcular essa distância usando a fórmula da distância entre dois pontos:<br /><br />$AM = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$<br /><br />Agora, podemos usar as coordenadas do centro e a distância AM para encontrar as coordenadas dos outros dois vértices. Sabemos que esses vértices são a mesma distância de M, mas em direções opostas.<br /><br />Vamos calcular a distância de M para cada uma das direções possíveis (direções x e y):<br /><br />Para a direção x (direção horizontal):<br />$M + AM = (2 + 2\sqrt{2}, 2)$<br /><br />Para a direção y (direção vertical):<br />$M - AM = (2, 2 - 2\sqrt{2})$<br /><br />Portanto, as coordenadas dos outros dois vértices são:<br />$(2 + 2\sqrt{2}, 2)$ e $(2, 2 - 2\sqrt{2})$<br /><br />Simplificando as raízes quadradas, temos:<br />$(2 + 2\sqrt{2}, 2)$ e $(2, 2 - 2\sqrt{2})$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção E) nenhuma das anteriores.