(x cdot d y)/(d x)=y+x cdot e^(y)/(x) ; y(1)=1

Para resolver a equação diferencial dada:<br /><br />\[<br />\frac{x \cdot dy}{dx} = y + x \cdot e^{\frac{y}{x}}<br />\]<br /><br />Podemos reescrever a equação como:<br /><br />\[<br />x \cdot dy = (y + x \cdot e^{\frac{y}{x}}) \cdot dx<br />\]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \(x\), obtemos:<br /><br />\[<br />dy = \left(\frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}\right) \cdot dx<br />\]<br /><br />Agora, vamos fazer uma substituição: seja \(v = \frac{y}{x}\), então \(y = vx\) e \(dy = v \cdot dx + x \cdot dv\).<br /><br />Substituindo na equação, temos:<br /><br />\[<br />v \cdot dx + x \cdot dv = \left(v + e^v\right) \cdot dx<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />x \cdot dv = e^v \cdot dx<br />\]<br /><br />Separando as variáveis, temos:<br /><br />\[<br />dv = \frac{e^v}{x} \cdot dx<br />\]<br /><br />Integrando ambos os lados:<br /><br />\[<br />\int dv = \int \frac{e^v}{x} \cdot dx<br />\]<br /><br />A integral do lado esquerdo é simplesmente \(v\), e a do lado direito requer integração por partes ou reconhecimento de padrão. No entanto, podemos simplificar o problema observando que a solução particular para a condição inicial \(y(1) = 1\) implica que \(v = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1\) quando \(x = 1\).<br /><br />Portanto, a solução particular que satisfaz a condição inicial é \(v = 1\), ou seja, \(y = x\). Assim, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:<br /><br />\[ <br />y = x <br />\]