y^prime prime+16 y=0, y(0)=2, y^prime(0)=-2

Para resolver a equação diferencial \( y'' + 16y = 0 \) com as condições iniciais \( y(0) = 2 \) e \( y'(0) = -2 \), podemos usar o método da transformada de Laplace.<br /><br />Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados da equação diferencial, obtemos:<br /><br />\( s^2Y(s) + 16Y(s) = 0 \)<br /><br />Fatorando a equação, temos:<br /><br />\( (s^2 + 16)Y(s) = 0 \)<br /><br />Isso implica que \( Y(s) = 0 \), o que significa que a transformada de Laplace da solução é zero. No entanto, isso não faz sentido no contexto das condições iniciais dadas.<br /><br />Vamos reconsiderar a abordagem e resolver diretamente a equação diferencial usando métodos numéricos ou de solução especial.<br /><br />A solução geral da equação diferencial \( y'' + 16y = 0 \) é da forma \( y(t) = A \cos(4t) + B \sin(4t) \), onde \( A \) e \( B \) são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.<br /><br />Substituindo as condições iniciais \( y(0) = 2 \) e \( y'(0) = -2 \) na solução geral, temos:<br /><br />\( 2 = A \cos(0) + B \sin(0) \)<br />\( -2 = 4A \sin(0) + 4B \cos(0) \)<br /><br />Resolvendo essas equações, encontramos:<br /><br />\( 2 = A \)<br />\( -2 = 4B \)<br /><br />Portanto, \( A = 2 \) e \( B = -\frac{1}{2} \).<br /><br />Assim, a solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:<br /><br />\( y(t) = 2 \cos(4t) - \frac{1}{2} \sin(4t) \)