Atividade 1:Resolva a equação algébrica 4x^3-x^2+6x-3=0 utilizando o método da decomposição.

Para resolver a equação algébrica \(4x^{3}-x^{2}+6x-3=0\) utilizando o método da decomposição, primeiro precisamos encontrar um divisor racional possível da equação. Podemos usar o Teorema das Raízes Racionais para isso.<br /><br />O Teorema das Raízes Racionais nos diz que se um polinômio \(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0\) tem coeficientes inteiros e \(p/q\) é uma raiz racional de \(P(x)\), então \(p\) é um fator do termo constante \(a_0\) e \(q\) é um fator do coeficiente líder \(a_n\).<br /><br />Aplicando o Teorema das Raízes Racionais à nossa equação, temos:<br /><br />- Coeficiente líder (\(a_n\)): 4<br />- Termo constante (\(a_0\)): -3<br /><br />Os fatores de 4 são: ±1, ±2, ±4.<br />Os fatores de -3 são: ±1, ±3.<br /><br />Portanto, os possíveis divisores racionais são: ±1, ±1/2, ±1/4, ±3, ±3/2, ±3/4.<br /><br />Agora, testamos esses possíveis divisores substituindo-os na equação para ver se eles são realmente raízes.<br /><br />Vamos começar com \(x = 1\):<br /><br />\(4(1)^3 - (1)^2 + 6(1) - 3 = 4 - 1 + 6 - 3 = 6 \neq 0\)<br /><br />Então, \(x = 1\) não é uma raiz.<br /><br />Testamos \(x = -1\):<br /><br />\(4(-1)^3 - (-1)^2 + 6(-1) - 3 = -4 - 1 - 6 - 3 = -14 \neq 0\)<br /><br />Então, \(x = -1\) não é uma raiz.<br /><br />Testamos \(x = 2\):<br /><br />\(4(2)^3 - (2)^2 + 6(2) - 3 = 32 - 4 + 12 - 3 = 37 \neq 0\)<br /><br />Então, \(x = 2\) não é uma raiz.<br /><br />Testamos \(x = -2\):<br /><br />\(4(-2)^3 - (-2)^2 + 6(-2) - 3 = -32 - 4 - 12 - 3 = -51 \neq 0\)<br /><br />Então, \(x = - não é uma raiz.<br /><br />Testamos \(x = 3\):<br /><br />\(4(3)^3 - (3)^2 + 6(3) - 3 = 108 - 9 + 18 - 3 = 114 \neq 0\)<br /><br />Então, \(x = 3\) não é uma raiz.<br /><br />Testamos \(x = -3\):<br /><br />\(4(-3)^3 - (-3)^2 + 6(-3) - 3 = -108 - 9 - 18 - 3 = -138 \neq 0\)<br /><br />Então, \(x = -3\) não é uma raiz.<br /><br />Testamos \(x = 1/2\):<br /><br />\(4(1/2)^3 - (1/2)^2 + 6(1/2) - 3 = 4(1/8) - (1/4) + 3 - 3 = 0.5 - 0.25 + 3 - 3 = 0.25 \neq 0\)<br /><br />Então, \(x = 1/2\) não é uma raiz.<br /><br />Testamos \(x = -1/2\):<br /><br />\(4(-1/2)^3 - (-1/2)^2 + 6(-1/2) - 3 = 4(-1/8) - (1/4) - 3 - 3 = -0.5 - 0.25 - 3 - 3 = -6.75 \neq 0\)<br /><br />Então, \(x = -1/2\) não é uma raiz.<br /><br />Testamos \(x = 1/4\):<br /><br />\(4(1/4)^3 - (1/4)^2 + 6(1/4) - 3 = 4(1/64) - (1/16) + 1.5 - 3 = 0.0625 - 0.0625 + 1.5 - 3 = -1.5 \neq 0