Mostre que f(x)=vert xvert não é derivável em p=0

Para mostrar que a função \( f(x) = |x| \) não é derivável em \( p = 0 \), vamos analisar o comportamento da função em torno desse ponto.<br /><br />A função \( f(x) = |x| \) é definida como:<br />\[ f(x) = \begin{cases} <br />-x & \text{se } x < 0 \\<br />x & \text{se } x \geq 0 <br />\end{cases} \]<br /><br />Para que uma função seja derivável em um ponto, os limites laterais (direito e esquerdo) devem existir e ser iguais no ponto em questão. Vamos calcular os limites laterais de \( f(x) \) em \( x = 0 \).<br /><br />1. **Limite do lado direito (\( x \to 0^+ \))**:<br />\[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0 \]<br /><br />2. **Limite do lado esquerdo (\( x \to 0^- \))**:<br />\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0 \]<br /><br />Embora os limites laterais existam e sejam iguais a 0, a derivada da função \( f(x) \) em \( x = 0 \) não pode ser definida de maneira consistente. Isso ocorre porque a função \( f(x) \) tem uma "quebra" em \( x = 0 \), onde a função muda de comportamento (de negativa para positiva).<br /><br />Portanto, a função \( f(x) = |x| \) não é derivável em \( x = 0 \).