Gram-Schmidt. 4) (2,0) Mostre que, se uev são vetores ortogonais, entǎo vert u+vVert ^2=Vert uVert ^2+Vert vVert ^2

Para mostrar que, se \( u \) e \( v \) são vetores ortogonais, então \(\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2\), podemos usar a definição de produto interno e propriedades de vetores ortogonais.<br /><br />Se \( u \) e \( v \) são ortogonais, isso significa que o produto interno entre eles é zero, ou seja, \( u \cdot v = 0 \).<br /><br />Agora, vamos calcular \(\|u+v\|^2\):<br /><br />\[<br />\|u+v\|^2 = (u+v) \cdot (u+v)<br />\]<br /><br />Expandindo o produto interno:<br /><br />\[<br />= u \cdot u + u \cdot v + v \cdot u + v \cdot v<br />\]<br /><br />Como \( u \cdot v = 0 \) e \( v \cdot u = 0 \) (pois o produto interno é comutativo), temos:<br /><br />\[<br />= u \cdot u + v \cdot v<br />\]<br /><br />Isso é igual a:<br /><br />\[<br />= \|u\|^2 + \|v\|^2<br />\]<br /><br />Portanto, mostramos que \(\|u+v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2\) quando \( u \) e \( v \) são vetores ortogonais.