Demonstrar por "indução matemática": 2^ngt n^3 forall ngeqslant 10,nin N

Para demonstrar por indução matemática que \(2^n > n^3\) para todo \(n \geq 10\), onde \(n\) é um número natural, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />### Passo 1: Base Indutiva<br />Verificamos a afirmação para \(n = 10\).<br /><br />\[ 2^{10} = 1024 \]<br />\[ 10^3 = 1000 \]<br /><br />Portanto, \(1024 > 1000\). A base indutiva é verdadeira.<br /><br />### Passo 2: Passo Indutivo<br />Supomos que a afirmação é verdadeira para algum \(k \geq 10\), ou seja, supomos que \(2^k > k^3\).<br /><br />Queremos mostrar que a afirmação é verdadeira para \(k + 1\), ou seja, queremos mostrar que \(2^{k+1} > (k+1)^3\).<br /><br />A partir da suposição inductiva, temos:<br />\[ 2^k > k^3 \]<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por 2:<br />\[ 2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^3 \]<br />\[ 2^{k+1} > 2k^3 \]<br /><br />Agora, precisamos mostrar que \(2k^3 > (k+1)^3\).<br /><br />Expandimos \((k+1)^3\):<br />\[ (k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 \]<br /><br />Portanto, precisamos mostrar que:<br />\[ 2k^3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1 \]<br /><br />Subtraímos \(k^3\) de ambos os lados:<br />\[ k^3 > 3k^2 + 3k + 1 \]<br /><br />Dividimos ambos os lados por \(k^2\):<br />\[ 1 > 3 + \frac{3}{k} + \frac{1}{k^2} \]<br /><br />Como \(k \geq 10\), \(\frac{3}{k} \leq \frac{3}{10} = 0.3\) e \(\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{100} = 0.01\). Assim:<br />\[ 1 > 3 + 0.3 + 0.01 \]<br />\[ 1 > 3.31 \]<br /><br />Esta desigualdade é falsa, o que significa que a suposição de que \(2k^3 > (k+1)^3\) não é válida para \(k \geq 10\). Portanto, a prova por indução falha.<br /><br />### Conclusão<br />A desigualdade \(2^n > n^3\) para \(n \geq 10\) não é verdadeira para todos os \(n \geq 10\). Portanto, a afirmação \(2^n > n^3\) para \(n \geq 10\) não é correta.