01. Encontre y' derivando implicitamente: a) x^2+y^2=1 b) x^2y+xy^2=3x c) sqrt (x+y)+sqrt (xy)=6 d) xsen(y)+cos(2y)=cos(y) x^2+y^2=(2x^2+2y^2-x)^2(Cardioide) f) (x^2+y^2-1)^3=x^2y^3 (Equacio do Amor)

Para derivar implicitamente, utilizamos a regra da cadeia e a regra da diferenção para funções compostas. Vamos resolver cada uma das equações:<br /><br />a) $x^{2}+y^{2}=1$<br /><br />Derivando ambos os lados em relação a $x$, obtemos:<br /><br />$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$<br /><br />Isolando $\frac{dy}{dx}$, temos:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$<br /><br />b) $x^{2}y+xy^{2}=3x$<br /><br />Derivando ambos os lados em relação a $x$, obtemos:<br /><br />$2xy + x^2 \frac{dy}{dx} + y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 3$<br /><br />Isolando $\frac{dy}{dx}$, temos:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 2xy - y^2}{x^2 + 2xy}$<br /><br />c) $\sqrt{x+y}+\sqrt{xy}=6$<br /><br />Derivando ambos os lados em relação a $x$, obtemos:<br /><br />$\frac{1}{2\sqrt{x+y}} + \frac{y}{2\sqrt{xy}} \frac{dy}{dx} = 0$<br /><br />Isolando $\frac{dy}{dx}$, temos:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y}}$<br /><br />d) $x\sin(y)+\cos(2y)=\cos(y)$<br /><br />Derivando ambos os lados em relação a $x$, obtemos:<br /><br />$\sin(y) + x\cos(y) \frac{dy}{dx} - 2\sin(2y) \frac{dy}{dx} = -\sin(y)$<br /><br />Isolando $\frac{dy}{dx}$, temos:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(y)}{\cos(y) - 2\sin(2y)}$<br /><br />e) $x^{2}+y^{2}=(2x^{2}+2y^{2}-x)^{2}$<br /><br />Derivando ambos os lados em relação a $x$, obtemos:<br /><br />$2x + 2y \frac{dy}{dx} = 4(2x^{2}+2y^{2}-x)(2x+2y-1)$<br /><br />Isolando $\frac{dy}{dx}$, temos:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 2y - 1}{2y(2x^{2}+2y^{2}-x)}$<br /><br />f) $(x^{2}+y^{2}-1)^{3}=x^{2}y^{3}$<br /><br />Derivando ambos os lados em relação a $x$, obtemos:<br /><br />$3(x^{2}+y^{2}-1)^{2}(2x+2y \frac{dy}{dx}) = 3x^{2}y^{2}(2xy+3y^{2} \frac{dy}{dx})$<br /><br />Isolando $\frac{dy}{dx}$, temos:<br /><br />$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}y^{2}(2xy+3y^{2})}{3(x^{2}+y^{2}-1)^{2}(2x+2y)}$<br /><br />Portanto, as derivadas são:<br /><br />a) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$<br /><br />b) $\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 2xy - y^2}{x^2 + 2xy}$<br /><br />c) $\frac{dy}{dx} = -\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y}}$<br /><br />d) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin(y)}{\cos(y) - 2\sin(2y)}$<br /><br />e) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 2y - 1}{2y(2x^{2}+2y^{2}-x)}$<br /><br />f) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2}y^{2}(2xy+3y^{2})}{3(x^{2}+y^{2}-1)^{2}(2x+2y)}$