Sea sen(a)=(2)/(3)eacos(b)=(1)/(3) determine cos(a+b) A cos(a+b)=(sqrt (5)-sqrt (2))/(3) B cos(a+b)=(sqrt (5)+4sqrt (2))/(9) C cos(a+b)=(sqrt (5)+sqrt (2))/(3) D cos(a+b)=(sqrt (5)-4sqrt (2))/(9) E cos(a+b)=(sqrt (5)+4sqrt (2))/(3)

Para determinar o valor de \( \cos(a+b) \), podemos usar a identidade trigonométrica para o cosseno da soma de dois ângulos:<br /><br />\[ \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b) \]<br /><br />Dado que \( \sin(a) = \frac{2}{3} \) e \( \cos(b) = \frac{1}{3} \), precisamos encontrar os valores de \( \cos(a) \) e \( \sin(b) \).<br /><br />Usando a identidade \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), podemos encontrar \( \cos(a) \) e \( \sin(b) \):<br /><br />\[ \cos(a) = \sqrt{1 - \sin^2(a)} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]<br /><br />\[ \sin(b) = \sqrt{1 - \cos^2(b)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]<br /><br />Agora, substituindo esses valores na fórmula para \( \cos(a+b) \):<br /><br />\[ \cos(a+b) = \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) - \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) \]<br /><br />\[ \cos(a+b) = \frac{\sqrt{5}}{9} - \frac{4\sqrt{2}}{9} \]<br /><br />\[ \cos(a+b) = \frac{\sqrt{5} - 4\sqrt{2}}{9} \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção D:<br /><br />\[ \cos(a+b) = \frac{\sqrt{5} - 4\sqrt{2}}{9} \]