#4) [INGLATERRA , - 2022 ] Dada a equação abaixo (6^3x+4)/(36^2x-4)=sqrt (6) pode-se afirmar que o valor de x é igual a: (A) 1/2 (B) 6 (C)12 (D) 23/2 (E) -1/2 #5) [MACK -SP] Dada a equação abaixo ((sqrt (3))/(9))^2x-2=(1)/(27) pode-se afirmar que o valor de x é: (A) tal que 2lt xlt 3 (B) negativo (C ) tal que 0lt xlt 1 (D) múltiplo de 2 (E) 3 #6) [UFPI] Dada a equação abaixo vert -2^2x+2^x+1+1vert =1 pode-se afirmar que a quantidade de números reais e positivos que satis fazem a equação é igual a: (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

#4) Para resolver essa equação, podemos começar igualando as bases dos termos:<br /><br />$\frac {6^{3x+4}}{36^{2x-4}}=\sqrt {6}$<br /><br />Podemos reescrever 36 como $6^2$ e $\sqrt{6}$ como $6^{1/2}$:<br /><br />$\frac {6^{3x+4}}{(6^2)^{2x-4}}=6^{1/2}$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$\frac {6^{3x+4}}{6^{4x-8}}=6^{1/2}$<br /><br />Agora, podemos igualar os expoentes:<br /><br />$3x+4-(4x-8)=\frac{1}{2}$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$-x+12=\frac{1}{2}$<br /><br />$-x=\frac{1}{2}-12$<br /><br />$-x=-\frac{23}{2}$<br /><br />$x=\frac{23}{2}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção (D) $23/2$.<br /><br />#5) Para resolver essa equação, podemos começar igualando as bases dos termos:<br /><br />$(\frac {\sqrt {3}}{9})^{2x-2}=\frac {1}{27}$<br /><br />Podemos reescrever $\frac{\sqrt{3}}{9}$ como $3^{1/2}/3^2$ e $\frac{1}{27}$ como $3^{-3}$:<br /><br />$(\frac {3^{1/2}}{3^2})^{2x-2}=3^{-3}$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$(3^{-3/2})^{2x-2}=3^{-3}$<br /><br />Agora, podemos igualar os expoentes:<br /><br />$-3(2x-2)=-3$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$-6x+6=-3$<br /><br />$-6x=-3-6$<br /><br />$-6x=-9$<br /><br />$x=\frac{3}{2}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção (A) tal que $2\lt x\lt 3$.<br /><br />#6) Para resolver essa equação, podemos começar igualando as bases dos termos:<br /><br />$\vert -2^{2x}+2^{x+1}+1\vert =1$<br /><br />Podemos reescrever $-2^{2x}$ como $-(2^x)^2$ e $2^{x+1}$ como $2^x \cdot 2$:<br /><br />$\vert -(2^x)^2+2^x \cdot 2+1\vert =1$<br /><br />Simplificando:<br /><br />$\vert -(2^x)^2+2^{x+1}+1\vert =1$<br /><br />Agora, podemos igualar os termos dentro do valor absoluto:<br /><br />$-(2^x)^2+2^{x+1}+1=1$ ou $-(2^x)^2+2^{x+1}+1=-1$<br /><br />Resolvendo a primeira equação:<br /><br />$-(2^x)^2+2^{x+1}+1=1$<br /><br />$-(2^x)^2+2^{x+1}=0$<br /><br />$(2^x)^2-2^{x+1}=0$<br /><br />$2^{2x}-2^{x+1}=0$<br /><br />$2^{2x}(1-2^{-x})=0$<br /><br />$2^{2x}=0$ ou $1-2^{-x}=0$<br /><br />$2^{2x}=0$ não tem solução, pois $2^{2x}$ é sempre positivo.<br /><br />$1-2^{-x}=0$<br /><br />$2^{-x}=1$<br /><br />$-x=0$<br /><br />$x=0$<br /><br />Resolvendo a segunda equação:<br /><br />$-(2^x)^2+2^{x+1}+1=-1$<br /><br />$-(2^x)^2+2^{x+1}=-2$<br /><br />$(2^x)^2-2^{x+1}=2$<br /><br />$(2^x)^2-2^{x+1}-2=0$<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, encontramos que não tem solução real.<br /><br />Portanto, a quantidade de números reais e positivos que satisfazem a equação é igual a 1.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção (B) 1.