Seja o vetor u=(1,0,-1) e o vetor v=(2,-1,3) Encontre o vetor unitário na direção do produto vetonal utimes v A (-(1)/(3sqrt (3)),-(5)/(3sqrt (3)),-(1)/(3sqrt (3))) B (-1,-5,-1) C ((1)/(3sqrt (3)),(5)/(3sqrt (3)),(1)/(3sqrt (3))) D (-(1)/(sqrt (3)),-(5)/(sqrt (3)),-(1)/(sqrt (3)))

Para encontrar o vetor unitário na direção do produto vetorial \( u \times v \), precisamos calcular o produto vetorial entre \( u \) e \( v \), e depois normalizar o resultado.<br /><br />O produto vetorial entre dois vetores \( u = (u_1, u_2, u_3) \) e \( v = (v_1, v_2, v_3) \) é dado por:<br /><br />\[ u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \]<br /><br />Aplicando a fórmula do determinante, temos:<br /><br />\[ u \times v = \mathbf{i}(u_2 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_2) - \mathbf{j}(u_1 \cdot v_3 - u_3 \cdot v_1) + \mathbf{k}(u_1 \cdot v_2 - u_2 \cdot v_1) \]<br /><br />Substituindo os valores dos vetores \( u \) e \( v \), temos:<br /><br />\[ u \times v = \mathbf{i}(0 \cdot 3 - (-1) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 2) \]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[ u \times v = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(3 + 2) + \mathbf{k}(-1 - 0) \]<br /><br />\[ u \times v = -\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - \mathbf{k} \]<br /><br />Agora, para encontrar o vetor unitário na direção de \( u \times v \), basta dividir cada componente de \( u \times v \) pelo seu módulo. O módulo de um vetor \( v = (v_1, v_2, v_3) \) é dado por:<br /><br />\[ \|v\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2} \]<br /><br />Substituindo os valores de \( u \times v \), temos:<br /><br />\[ \|u \times v\| = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]<br /><br />Agora, dividimos cada componente de \( u \times v \) pelo seu módulo:<br /><br />\[ \frac{u \times v}{\|u \times v\|} = \left(-\frac{1}{3\sqrt{3}}, -\frac{5}{3\sqrt{3}}, -\frac{1}{3\sqrt{3}}\right) \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção A: \( \left(-\frac{1}{3\sqrt{3}}, -\frac{5}{3\sqrt{3}}, -\frac{1}{3\sqrt{3}}\right) \).