Demonstrar por "indução matemática": 1cdot 2+2cdot 3+3cdot 4+... +ncdot (n+1)=(n(n+1)(n+2))/(3) forall nin N

Para demonstrar a fórmula dada por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Vamos verificar a fórmula para o caso base, ou seja, quando n = 1.<br /><br />Substituindo n = 1 na fórmula, temos:<br /><br />1 * (1 + 1) = (1 * 2 * 3) / 3<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />2 = 2<br /><br />Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Agora, vamos assumir que a fórmula é verdadeira para algum número natural k, ou seja, assumimos que:<br /><br />1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 +... + k * (k + 1) = (k * (k + 1) * (k + 2)) / 3<br /><br />Queremos mostrar que a fórmula também é verdadeira para k + 1, ou seja, queremos mostrar que:<br /><br />1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 +... + k * (k + 1) + (k + 1) * (k + 2) = ((k + 1) * (k + 2) * (k + 3)) / 3<br /><br />Começamos por substituir a suposição de indução na equação acima:<br /><br />(k * (k + 1) * (k + 2)) / 3 + (k + 1) * (k + 2) = ((k + 1) * (k + 2) * (k + 3)) / 3<br /><br />Multiplicando ambos os lados da equação por 3 para eliminar o denominador, temos:<br /><br />k * (k + 1) * (k + 2) + 3 * (k + 1) * (k + 2) = (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)<br /><br />Agora, podemos fatorar (k + 1) * (k + 2) em ambos os lados da equação:<br /><br />(k + 1) * (k + 2) * (k + 1) + 3 * (k + 1) * (k + 2) = (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />(k + 1) * (k + 2) * (k + 2) + 3 * (k + 1) * (k + 2) = (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)<br /><br />(k + 1) * (k + 2) * (k + 3) = (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)<br /><br />Portanto, a fórmula também é verdadeira para k + 1, se assumirmos que é verdadeira para k.<br /><br />Passo 3: Conclusão<br />Como a fórmula é verdadeira para o caso base (n = 1) e também é verdadeira para k + 1, se assumirmos que é verdadeira para k, podemos concluir que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n.<br /><br />Portanto, a fórmula 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 +... + n * (n + 1) = (n * (n + 1) * (n + 2)) / 3 é verdadeira para todos os números naturais n.