7. Determine a função da demanda x=f(p) que satisfaça a condições iniciais. a. (dx)/(dp)=-(6000p)/((p^2)-16)^(1/2), x=5000 quandop= 5 b. (dx)/(dp)=-(400)/((0,02p-1)^3), x=10000 quandop= 100

Para determinar a função da demanda \( x = f(p) \) que satisfaça as condições iniciais, precisamos derivar a função em relação ao preço \( p \) e verificar se ela corresponde às condições fornecidas.<br /><br />Vamos analisar cada uma das opções:<br /><br />### Opção a:<br />\[ \frac{dx}{dp} = -\frac{6000p}{(p^2 - 16)^{1/2}}, \quad x = 5000 \quad \text{quando} \quad p = \$5 \]<br /><br />Para verificar se essa condição está correta, vamos derivar a função \( x = f(p) \) e comparar com a derivada fornecida.<br /><br />Suponha que \( x = f(p) \) seja uma função qualquer. A derivada em relação ao preço \( p \) é dada por:<br />\[ \frac{dx}{dp} = f'(p) \]<br /><br />De acordo com a condição fornecida:<br />\[ f'(p) = -\frac{6000p}{(p^2 - 16)^{1/2}} \]<br /><br />Para \( p = 5 \):<br />\[ f'(5) = -\frac{6000 \cdot 5}{(5^2 - 16)^{1/2}} = -\frac{30000}{(25 - 16)^{1/2}} = -\frac{30000}{9} = -3333.33 \]<br /><br />Agora, precisamos verificar se \( x = 5000 \) quando \( p = 5 \):<br />\[ f(5) = 5000 \]<br /><br />Se \( f(5) = 5000 \), então a condição inicial está satisfeita.<br /><br />### Opção b:<br />\[ \frac{dx}{dp} = -\frac{400}{(0.02p - 1)^3}, \quad x = 10000 \quad \text{quando} \quad p = \$100 \]<br /><br />Para verificar se essa condição está correta, vamos derivar a função \( x = f(p) \) e comparar com a derivada fornecida.<br /><br />Suponha que \( x = f(p) \) seja uma função qualquer. A derivada em relação ao preço \( p \) é dada por:<br />\[ \frac{dx}{dp} = f'(p) \]<br /><br />De acordo com a condição fornecida:<br />\[ f'(p) = -\frac{400}{(0.02p - 1)^3} \]<br /><br />Para \( p = 100 \):<br />\[ f'(100) = -\frac{400}{(0.02 \cdot 100 - 1)^3} = -\frac{400}{(2 - 1)^3} = -\frac{400}{1} = -400 \]<br /><br />Agora, precisamos verificar se \( x = 10000 \) quando \( p = 100 \):<br />\[ f(100) = 10000 \]<br /><br />Se \( f(100) = 10000 \), então a condição inicial está satisfeita.<br /><br />### Conclusão:<br />Ambas as opções fornecem funções de demanda que satisfazem as condições iniciais fornecidas. Portanto, ambas as opções são corretas.