Considere os pontos: A=(1,0,b) onde b=6 B=(2,1,-1) C=(1,2,2) e o plano que contém estes pontos. Considere a reta paralela ao vetor overrightarrow (BC) que passa por D=(1,1,0) Verifique se a reta interseciona o plano. Então encontre a distânica da reta ao plano. (não se esqueçam que distância se calcula em módulo). Dê a resposta com 2 casas decimais

Para verificar se a reta intersecciona o plano, precisamos encontrar a equação do plano que contém os pontos \(A\), \(B\) e \(C\). Primeiro, calculamos dois vetores no plano:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AB} = (2-1, 1-0, -1-6) = (1, 1, -7)<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{AC} = (1-1, 2-0, 2-6) = (0, 2, -4)<br />\]<br /><br />O vetor normal ao plano \(\vec{n}\) é dado pelo produto vetorial \(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\):<br /><br />\[<br />\vec{n} = \begin{vmatrix}<br />\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\<br />1 & 1 & -7 \\<br />0 & 2 & -4<br />\end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-4) - (-7) \cdot 2) - \mathbf{j}(1 \cdot (-4) - (-7) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 0)<br />\]<br /><br />\[<br />= \mathbf{i}(-4 + 14) - \mathbf{j}(-4) + \mathbf{k}(2)<br />\]<br /><br />\[<br />= 10\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k}<br />\]<br /><br />Assim, o vetor normal ao plano é \(\vec{n} = (10, 4, 2)\).<br /><br />A equação do plano é dada por:<br /><br />\[<br />10(x - 1) + 4(y - 0) + 2(z - 6) = 0<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />10x + 4y + 2z = 32<br />\]<br /><br />Agora, consideramos a reta paralela ao vetor \(\overrightarrow{BC}\) que passa por \(D=(1,1,0)\). Calculamos \(\overrightarrow{BC}\):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{BC} = (1-2, 2-1, 2+1) = (-1, 1, 3)<br />\]<br /><br />A equação paramétrica da reta é:<br /><br />\[<br />(x, y, z) = (1, 1, 0) + t(-1, 1, 3)<br />\]<br /><br />Substituímos na equação do plano para verificar a interseção:<br /><br />\[<br />10(1 - t) + 4(1 + t) + 2(3t) = 32<br />\]<br /><br />\[<br />10 - 10t + 4 + 4t + 6t = 32<br />\]<br /><br />\[<br />14 = 32<br />\]<br /><br />Isso não é possível, portanto, a reta não intersecciona o plano.<br /><br />Para calcular a distância da reta ao plano, usamos a fórmula da distância de um ponto ao plano. Escolhemos o ponto \(D = (1, 1, 0)\) na reta:<br /><br />\[<br />d = \frac{|10 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 32|}{\sqrt{10^2 + 4^2 + 2^2}}<br />\]<br /><br />\[<br />d = \frac{|10 + 4 - 32|}{\sqrt{100 + 16 + 4}}<br />\]<br /><br />\[<br />d = \frac{|-18|}{\sqrt{120}}<br />\]<br /><br />\[<br />d = \frac{18}{\sqrt{120}}<br />\]<br /><br />\[<br />d = \frac{18}{2\sqrt{30}}<br />\]<br /><br />\[<br />d = \frac{9}{\sqrt{30}}<br />\]<br /><br />Racionalizando o denominador:<br /><br />\[<br />d = \frac{9\sqrt{30}}{30}<br />\]<br /><br />\[<br />d = \frac{3\sqrt{30}}{10}<br />\]<br /><br />Calculando numericamente:<br /><br />\[<br />d \approx \frac{3 \times 5.477}{10} \approx 1.64<br />\]<br /><br />Portanto, a distância da reta ao plano é aproximadamente \(1.64\).