10) Demonstrar por "indução matemática": 6vert (n^3-n) forall nin N

Para demonstrar por indução matemática que \(6 \mid (n^3 - n)\) para todo \(n \in \mathbb{N}\), siga estes passos:<br /><br />1. **Base da indução**: Verifique a afirmação para \(n = 1\).<br /> \[<br /> 6 \mid (1^3 - 1) \implies 6 \mid 0<br /> \]<br /> A afirmação é verdadeira para \(n = 1\).<br /><br />2Hipótese de indução**: Suponha que a afirmação é verdadeira para algum \(k \in \mathbb{N}\), ou seja, \(6 \mid (k^3 - k)\).<br /><br />3. **Passo da indução**: Prove que a afirmação é verdadeira para \(k + 1\).<br /> \[<br /> 6 \mid ((k+1)^3 - (k+1))<br /> \]<br /> Expandindo a expressão:<br /> \[<br /> (k+1)^3 - (k+1) = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1) - (k + 1) = k^3 + 3k^2 + 2k<br /> \]<br /> Agora, observe que:<br /> \[<br /> k^3 + 3k^2 + 2k = k(k^2 + 3k + 2) = k(k+1)(k+2)<br /> \]<br /> Note que \(k(k+1)(k+2)\) é um produto de três números consecutivos, e pelo menos um desses números é divisível por 2 (par) e pelo menos um é divisível por 3 (múltiplo de 3). Portanto, o produto é divisível por 6.<br /><br />Portanto, \(6 \mid (k+1)^3 - (k+1)\) para todo \(k \in \mathbb{N}\). Concluiu-se que a afirmação é verdadeira para todo \(n \in \mathbb{N}\).