Uma elipse tem os focos F1=(0,-2) e F2=(0,2) e excentricidade varepsilon =0,5 . Sabendo que a área S da superficie elíptica é dada pela fórmula S=pi ab , assinale a alternativa que expressa a área CORRETA dessa superfície. A A S=8sqrt (3)pi S=4sqrt (2)pi _(0) B S=3sqrt (2)pi C D S=4sqrt (3)pi E S=12sqrt (3)pi

Para encontrar a área da elipse, precisamos calcular os valores de \(a\) e \(b\) usando a fórmula da elipse e, em seguida, aplicar a fórmula da área da elipse.<br /><br />Dado que os focos são \(F1 = (0, -2)\) e \(F2 = (0, 2)\), podemos calcular a distância entre os focos, \(2c\), que é igual a 4. Portanto, \(c = 2\).<br /><br />A fórmula da elipse é dada por \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\), onde \(a\) é o semi-eixo maior e \(b\) é o semi-eixo menor.<br /><br />Sabemos que a eccentricidade \(\varepsilon\) é igual a \(\frac{c}{a}\). Substituindo os valores conhecidos, temos \(\varepsilon = \frac{2}{a} = 0,5\). Portanto, \(a = 4\).<br /><br />Para encontrar o valor de \(b\), podemos usar a relação \(c^2 = a^2 - b^2\). Substituindo os valores conhecidos, temos \(4^2 = 4^2 - b^2\). Resolvendo essa equação, encontramos \(b = 2\sqrt{3}\).<br /><br />Agora, podemos calcular a área da elipse usando a fórmula \(S = \pi ab\). Substituindo os valores encontrados, temos \(S = \pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\pi\).<br /><br />Portanto, a resposta correta é a alternativa A: \(S = 8\sqrt{3}\pi\).