calculo integral é critico para mutos campos centificos Mutas ferramentas matemiticas poderosas dependem da integração As equações differenciais, por exemplo, são o resultado direto do desenvolvimento da integração. A integração tem origem em dois problemas distintos. 0 problema mais imediato é o de encontrar a transformação inversa da derivada Esse conceito é chamado antiderivada. O outro problema lida com áreas e como encontrálas A ponte entre esses dois problemas differentes éo Teorema Fundamental do Calculo Calcule a area delimitada pelos gráficos de y=sen(x) e y=cos(x) entre (pi )/(4) . (5pi )/(4) a. I 2sqrt (2) C. It d. (3pi )/(4) e. 0

Para calcular a área delimitada pelos gráficos de \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) entre \( \frac{\pi}{4} \) e \( \frac{5\pi}{4} \), precisamos encontrar a diferença entre as áreas sob as curvas desses dois funções dentro desse intervalo.<br /><br />1. **Área sob \( y = \sin(x) \) entre \( \frac{\pi}{4} \) e \( \frac{5\pi}{4} \)**:<br /> \[<br /> \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \sin(x) \, dx<br /> \]<br /> A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando entre os limites:<br /> \[<br /> -\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)<br /> \]<br /> Sabemos que:<br /> \[<br /> \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}<br /> \]<br /> Portanto:<br /> \[<br /> -\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}<br /> \]<br /><br />2. **Área sob \( y = \cos(x) \) entre \( \frac{\pi}{4} \) e \( \frac{5\pi}{4} \)**:<br /> \[<br /> \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \cos(x) \, dx<br /> \]<br /> A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \). Avaliando entre os limites:<br /> \[<br /> \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)<br /> \]<br /> Sabemos que:<br /> \[<br /> \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}<br /> \]<br /> Portanto:<br /> \[<br /> -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}<br /> \]<br /><br />3. **Área entre as duas curvas**:<br /> \[<br /> \sqrt{2} - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}<br /> \]<br /><br />Portanto, a área delimitada pelos gráficos de \( y = \sin(x) \) e \( y = \cos(x) \) entre \( \frac{\pi}{4} \) e \( \frac{5\pi}{4} \) é \( 2\sqrt{2} \).<br /><br />A resposta correta é:<br />a. \( 2\sqrt{2} \)