Questão 0.3. Determine núcleo e a imagem da transfromação linear T:R^3arrow R^2 tal que T(1;0;0)= (2;0),T(0;1;0)=(1;1) e T(0;0;1)=(0;-1).

Para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \), precisamos analisar as propriedades da transformação dada.<br /><br />### Núcleo da Transformação (\(\ker(T)\))<br /><br />O núcleo de \( T \) é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \) tais que \( T(x, y, z) = (0, 0) \). Para encontrar o núcleo, precisamos resolver o sistema de equações:<br /><br />\[ T(1, 0, 0) = (2, 0) \]<br />\[ T(0, 1, 0) = (1, 1) \]<br />\[ T(0, 0, 1) = (0, -1) \]<br /><br />Podemos ver que \( T \) transforma \( (1, 0, 0) \) em \( (2, 0) \), \( (0, 1, 0) \) em \( (1, 1) \) e \( (0, 0, 1) \) em \( (0, -1) \).<br /><br />Para encontrar o núcleo, precisamos encontrar um vetor \( (x, y, z) \) tal que:<br /><br />\[ T(x, y, z) = (0, 0) \]<br /><br />Isso significa que:<br /><br />\[ 2x = 0 \implies x = 0 \]<br />\[ x + y = 0 \implies y = -x \]<br />\[ -z = 0 \implies z = 0 \]<br /><br />Portanto, o vetor \( (x, y, z) \) deve ser da forma \( (0, -x, 0) \). Isso implica que qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça essa condição estará no núcleo. Em outras palavras, o núcleo é gerado por vetores da forma \( (0, -x, 0) \).<br /><br />### Imagem da Transformação (\(\text{Im}(T)\))<br /><br />A imagem de \( T \) é o conjunto de todos os vetores \( (a, b) \in \mathbb{R}^2 \) tais que existe um vetor \( (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \) tal que \( T(x, y, z) = (a, b) \).<br /><br />Usando as transformações fornecidas:<br /><br />\[ T(1, 0, 0) = (2, 0) \]<br />\[ T(0, 1, 0) = (1, 1) \]<br />\[ T(0, 0, 1) = (0, -1) \]<br /><br />Podemos ver que a imagem de \( T \) é o conjunto de todos os vetores \( (a, b) \) que podem ser obtidos combinando linearmente esses vetores. Ou seja, a imagem é o subespaço gerado por \( (2, 0) \), \( (1, 1) \) e \( (0, -1) \).<br /><br />Para encontrar a base dessa subespécie, podemos usar o método de eliminação de Gauss-Jordan ou métodos de escalonamento para obter a forma escalonada reduzida da matriz de \( T \):<br /><br />\[ A = \begin{pmatrix}<br />2 & 0 & 0 \\<br />1 & 1 & 0 \\<br />0 & -1 & 0<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />Aplicando escalonamento:<br /><br />\[ \begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 0 \\<br />1 & 1 & 0 \\<br />0 & -1 & 0<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />\[ \begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 0 \\<br />0 & 1 & 0 \\<br />0 & -1 & 0<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />\[ \begin{pmatrix}<br />1 & 0 & 0 \\<br />0 & 1 & 0 \\<br />0 & 0 & 0<br />\end{pmatrix} \]<br /><br />Portanto, a base da imagem é \( \{(2, 0), (1, 1), (0, -1)\} \).<br /><br />### Resumo<br /><br />- **Núcleo de \( T \)**: O subespaço gerado por \( (0, -x, 0) \) para \( x \in \mathbb{R} \).<br />- **Imagem de \( T \)**: O subespaço gerado por \( \