19os biólogos consideram que, ao chegar a 100 indivíduos, a extinção de uma espécie animal é inevitável. A população de uma determinada espécie animal, ameaçada de extinção diminui segundo a função f(t)=ktimes a^t , na qual, k e a são números reais e f(t) indica o número de indivíduos dessa espécie no instante t (t em anos). Atualmente (instante t=0 ) existem 3000 individuos da espécie e estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 900. Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que os biologos consideram como irreversivel para a extinção? (1pt) 29 Uma epidemia de virose atingiu uma pequena comunidade no norte do país .com apenas 2000 habitantes. Um estudo modelou a quantidade P de infectados dessa população, por meio da função em que t representa o tempo medido em meses, decorrido após a identificação do primeiro infectado. p(t)=(500)/(1+8cdot 2^-t+1) As autoridades devem colocar em prática um plano de ação que visa extinguir a presença do virus antes que ele atinja 400 habitantes Considerando o modelo descrito, o tempo máximo disponível, em meses, para que o piano seja executado é?(1pt) 39Em um determinado momento, foram introduzidos 100 peixes em um lago. Um estudo ecológico -matemático determinou que a população dessa espécie de peixes nesse lago é dada pela fórmula abaixo. p(t)=(1000)/(1+Ae^-kt) Em que té o tempo decorrido em messes, desde que os primeiros peixes foram postos no lago.(1pt) a) Determine a função P(t) , sabendo que, passados seis meses da introdução dos peixes, a população atingiu 500 indivíduos. b) Determine em quantos meses a população atingirá 1200 peixes. 4. A população brasileira era de cerca de 170 milhões de habitantes em 2000 e atingiu os 190 milhões de habitantes em 2010 (1pt) a) Considerando que t=0 no ano de 2000 determine a função exponencial P(t)=ae^bt que fornece o número aproximado de habitantes do país , em relação ao ano. b) Usando seu modelo matemático , estime a população brasileira em 2020.

1. Para determinar o tempo necessário para atingir o nível de população considerado irreversível para a extinção, podemos usar a função exponencial dada: $f(t) = k \times a^t$, onde $ e $a$ são números reais e $f(t)$ indica o número de indivíduos dessa espécie no instante $t$ (em anos).<br /><br />Sabemos que atualmente (instante $t=0$) existem 3000 indivíduos da espécie e que daqui a 10 anos (instante $t=10$) haverá 900 indivíduos. Podemos usar essas informações para determinar os valores de $k$ e $a$.<br /><br />Substituindo os valores conhecidos na função, temos:<br /><br />$f(0) = k \times a^0 = 3000$<br /><br />$k \times 1 = 3000$<br /><br />$k = 3000$<br /><br />$f(10) = k \^{10} = 900$<br /><br />$3000 \times a^{10} = 900$<br /><br />$a^{10} = \frac{900}{3000}$<br /><br />$a^{10} = 0.3$<br /><br />$a = \sqrt[10]{0.3}$<br /><br />Agora que temos os valores de $k$ e $a$, podemos determinar o tempo necessário para atingir o nível de população considerado irreversível para a extinção. Sabemos que os biólogos consideram que ao chegar a 100 indivíduos, a extinção é inevitável. Portanto, precisamos encontrar o valor de $t$ para o qual $f(t) = 100$.<br /><br />$100 = 3000 \times (\sqrt[10]{0.3})^t$<br /><br />$\frac{100}{3000} = (\sqrt[10]{0.3})^t$<br /><br />$\frac{1}{30} = (\sqrt[10]{0.3})^t$<br /><br />Tomando o logaritmo de ambos os lados, temos:<br /><br />$\log(\frac{1}{30}) = \log((\sqrt[10]{0.3})^t)$<br /><br />$\log(\frac{1}{30}) = t \times \log(\sqrt[10]{0.3})$<br /><br />$t = \frac{\log(\frac{1}{30})}{\log(\sqrt[10]{0.3})}$<br /><br />Calculando o valor de $t$, encontramos que o tempo necessário para atingir o nível de população considerado irreversível para a extinção é aproximadamente 27.6 anos.<br /><br />2. Para determinar o tempo máximo disponível para executar o plano de ação antes que o vírus atinja 400 habitantes, podemos usar a função dada: $p(t) = \frac{500}{1 + 8 \times 2^{-t+1}}$, onde $t$ representa o tempo medido em meses.<br /><br />Queremos encontrar o valor de $t$ para o qual $p(t) = 400$. Substituindo esse valor na função, temos:<br /><br />$400 = \frac{500}{1 + 8 \times 2^{-t+1}}$<br /><br />$1 + 8 \times 2^{-t+1} = \frac{500}{400}$<br /><br />$1 + 8 \times 2^{-t+1} = 1.25$<br /><br />$8 \times 2^{-t+1} = 0.25$<br /><br />$2^{-t+1} = \frac{0.25}{8}$<br /><br />$2^{-t+1} = 0.03125$<br /><br />Tomando o logaritmo de ambos os lados, temos:<br /><br />$\log(2^{-t+1}) = \log(0.03125)$<br /><br />$-t + 1 = \log(0.03125)$<br /><br />$t = 1 - \log(0.03125)$<br /><br />Calculando o valor de $t$, encontramos que o tempo máximo disponível para executar o plano de ação antes que o vírus atinja 400 habitantes é aproximadamente 3.7 meses.<br /><br />3. a) Para determinar a função $P(t)$, sabendo que passados seis meses da introdução dos peixes, a população atingiu 500 indivíduos, podemos usar a fórmula dada: $p(t) = \frac{1000}{1 + Ae^{-kt}}$, onde $t$ representa o tempo decorrido em meses.<br /><br />Substituindo os valores conhecidos na função, temos:<br /><br />$p(6) = \frac{1000}{1 + A \times e^{-6k}} = 500$<br /><br />$1 +