(b) (1.0) () Se a frequência respiratória de uma pessoa , em respirações por minuto , é mod lada pela função F(t)=16-4cos((pi t)/(15)) , então a taxa de variação dessa frequência em minutos é aproximadamente, 0,723 respirações por minuto.

Para calcular a taxa de variação da frequência respiratória, precisamos encontrar a derivada da função \( F(t) \) em relação a \( t \).<br /><br />Dada a função:<br />\[ F(t) = 16 - 4 \cos\left(\frac{\pi t}{15}\right) \]<br /><br />Vamos calcular a derivada \( F'(t) \):<br /><br />1. Derivada de uma constante:<br />\[ \frac{d}{dt}(16) = 0 \]<br /><br />2. Derivada de uma função coseno:<br />\[ \frac{d}{dt}\left(-4 \cos\left(\frac{\pi t}{15}\right)\right) \]<br /><br />Para derivar \( \cos\left(\frac{\pi t}{15}\right) \), usamos a regra da cadeia. Seja \( u = \frac{\pi t}{15} \), então \( \cos(u) \) é uma função de \( u \) e \( u \) é uma função de \( t \).<br /><br />\[ \frac{d}{dt} \cos(u) = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dt} \]<br /><br />Calculamos \( \frac{du}{dt} \):<br />\[ u = \frac{\pi t}{15} \]<br />\[ \frac{du}{dt} = \frac{\pi}{15} \]<br /><br />Agora, substituímos de volta:<br />\[ \frac{d}{dt} \cos\left(\frac{\pi t}{15}\right) = -\sin\left(\frac{\pi t}{15}\right) \cdot \frac{\pi}{15} \]<br /><br />Portanto, a derivada de \( F(t) \) é:<br />\[ F'(t) = 0 - 4 \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi t}{15}\right) \cdot \frac{\pi}{15}\right) \]<br />\[ F'(t) = 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi t}{15}\right) \cdot \frac{\pi}{15} \]<br />\[ F'(t) = \frac{4\pi}{15} \sin\left(\frac{\pi t}{15}\right) \]<br /><br />Para encontrar a taxa de variação em um ponto específico, substituímos \( t \) pelo valor desejado. Se a taxa de variação é aproximadamente 0,723 respirações por minuto, podemos resolver para \( t \):<br /><br />\[ \frac{4\pi}{15} \sin\left(\frac{\pi t}{15}\right) = 0,723 \]<br /><br />Isso é uma equação transcendental e pode ser resolvida numericamente para encontrar \( t \). No entanto, a derivada fornecida é correta e pode ser usada para calcular a taxa de variação em qualquer ponto \( t \).