5- Considerando o operador linear T : R^3arrow R^3 definido por T(x,y,z)=(x+2y+2z,x+2y-z,-x+y+4z) a) determine o vetor uin R^3 tal que T(u)=(-1,8,-11) b) determine o vetor vin R^3 tal que T(v)=v 6- Sabendo que T:R^2arrow R^3 é uma transformação linear e que T(1, -1) = (3,2,-2) e T(-1,2)=(1,-1,3) determine T(x,y) 7- Determinar o núcleo e a imagem do operador linear T : R^2arrow R^3 T(x,y,z)=(x+2y-z,y+2z,x+3y+z) 8- Seja T : R^3arrow R^2 a transformação linear tal que T(e_(1))=(1,2),T(e_(2))= (0,1) e T(e_(3))=(-1,3) sendo e_(1),e_(2),e_(3)) a base canônica de R^3 a) Determinar o N(T) (núcleo de T) e uma de suas bases . T é injetora? b) Determinar a Im(T) (imagem de T) e uma de suas bases T é sobrejetora? 9- Seja T : R^3arrow Rt^2,T(x,y,z)=(2x-y+z,3x+y-2z) a transformação linear. Consideremos as bases A= v_(1),v_(2),v_(3)) ,comv_(1)=(1,1,1),v_(2)=(0,1,1) v_(3)=(0,0,1) e B= w_(1),w_(2)) , sendo w_(1)=(2,1)ew_(2)=(5,3) a) Determinar [T]_(B)^A b) Se v=(3,-4,2) (coordenadas em relação à base canônica do R^3 , calcular T(v)_(B) utilizando a matriz encontrada.

5- <br />a) Para determinar o vetor \( u \in \mathbb{R}^3 \) tal que \( T(u) = (-1, 8, -11) \), precisamos encontrar o vetor \( u \) que, quando aplicado ao operador linear \( T \), resulta no vetor \( (-1, 8, -11) \). Podemos fazer isso resolvendo a equação \( T(u) = (-1, 8, -11) \).<br /><br />Substituindo \( u = (x, y, z) \) na definição de \( T \), temos:<br /><br />\( T(x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + 2y - z, -x + y + 4z) \)<br /><br />Igualando os componentes correspondentes, temos o seguinte sistema de equações:<br /><br />\( x + 2y + 2z = -1 \)<br />\( x + 2y - z = 8 \)<br />\( -x + y + 4z = -11 \)<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos \( x = -1 \), \( y = 3 \) e \( z = -2 \). Portanto, o vetor \( u \) tal que \( T(u) = (-1, 8, -11) \) é \( u = (-1, 3, -2) \).<br /><br />b) Para determinar o vetor \( v \in \mathbb{R}^3 \) tal que \( T(v) = v \), precisamos encontrar o vetor \( v \) que, quando aplicado ao operador linear \( T \), resulta no vetor \( v \) mesmo. Isso significa que \( T(v) = v \).<br /><br />Substituindo \( v = (x, y, z) \) na definição de \( T \), temos:<br /><br />\( T(x, y, z) = (x + 2y + 2z, x + 2y - z, -x + y + 4z) \)<br /><br />Igualando os componentes correspondentes, temos o seguinte sistema de equações:<br /><br />\( x + 2y + 2z = x \)<br />\( x + 2y - z = y \)<br />\( -x + y + 4z = z \)<br /><br />Resolvendo esse sistema de equações, encontramos \( x = 0 \), \( y = 0 \) e \( z = 0 \). Portanto, o vetor \( v \) tal que \( T(v) = v \) é \( v = (0, 0, 0) \).<br /><br />6- Para determinar \( T(x, y) \), precisamos usar as informações fornecidas sobre \( T(1, -1) \) e \( T(-1, 2) \).<br /><br />Sabemos que \( T(1, -1) = (3, 2, -2) \) e \( T(-1, 2) = (1, -1, 3) \).<br /><br />Podemos escrever esses vetores como combinações lineares dos vetores \( (1, -1) \) e \( (-1, 2) \):<br /><br />\( (1, -1) = 1(1, -1) + 0(-1, 2) \)<br />\( (-1, 2) = 0(1, -1) + 1(-1, 2) \)<br /><br />Agora, aplicando \( T \) a essas combinações lineares, temos:<br /><br />\( T(1, -1) = T(1(1, -1) + 0(-1, 2)) = 1T(1, -1) + 0T(-1, 2) = (3, 2, -2) \)<br />\( T(-1, 2) = T(0(1, -1) + 1(-1, 2)) = 0T(1, -1) + 1T(-1, 2) = (1, -1, 3) \)<br /><br />Agora, podemos usar esses resultados para determinar \( T(x, y) \). Podemos escrever \( (x, y) \) como combinação linear de \( (1, -1) \) e \( (-1, 2) \):<br /><br />\( (x, y) = ax + by \)<br /><br />onde \( a \) e \( b \) são constantes a serem determinadas.<br /><br />Aplicando \( T \) a essa combinação linear, temos:<br /><br />\( T(x, y) = T(ax + by) = aT(1, -1) + bT