4. Nilain yang memenuhi sum _(n=1)^n(4n+5)=197 adalah __ a. 24 d. 12 b. 22 e. 8 c. 18

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu mencari nilai \( n \) yang memenuhi persamaan \(\sum_{n=1}^{n}(4n+5)=197\).<br /><br />Mari kita hitung jumlah deret tersebut:<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{n}(4n+5) = \sum_{n=1}^{n} 4n + \sum_{n=1}^{n} 5<br />\]<br /><br />Kita tahu bahwa:<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{n} 4n = 4 \sum_{n=1}^{n} n = 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 2n(n+1)<br />\]<br /><br />dan:<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{n} 5 = 5n<br />\]<br /><br />Jadi, jumlah deret tersebut adalah:<br /><br />\[<br />2n(n+1) + 5n = 197<br />\]<br /><br />Mari kita selesaikan persamaan ini:<br /><br />\[<br />2n^2 + 2n + 5n = 197<br />\]<br /><br />\[<br />2n^2 + 7n = 197<br />\]<br /><br />\[<br />2n^2 + 7n - 197 = 0<br />\]<br /><br />Sekarang kita selesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus kuadrat:<br /><br />\[<br />n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br />\]<br /><br />Di mana \( a = 2 \), \( b = 7 \), dan \( c = -197 \):<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-197)}}{2 \cdot 2}<br />\]<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 1568}}{4}<br />\]<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 \pm \sqrt{1617}}{4}<br />\]<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 \pm 40.27}{4}<br />\]<br /><br />Karena \( n \) harus bernilai bulat, kita coba nilai yang memungkinkan:<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 + 40.27}{4} \approx \frac{33.27}{4} \approx 8.32<br />\]<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 - 40.27}{4} \approx \frac{-47.27}{4} \approx -11.82<br />\]<br /><br />Nilai \( n \) yang memungkinkan adalah \( n \approx 8 \).<br /><br />Mari kita cek nilai \( n = 8 \):<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{8}(4n+5) = 2 \cdot 8 \cdot (8+1) + 5 \cdot 8 = 2 \cdot 8 \cdot 9 + 40 = 144 + 40 = 184<br />\]<br /><br />Nilai \( n = 8 \) tidak memenuhi persamaan. Mari kita coba nilai \( n9 \):<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{9}(4n+5) = 2 \cdot 9 \cdot (9+1) + 5 \cdot 9 = 2 \cdot 9 \cdot 10 + 45 = 180 + 45 = 225<br />\]<br /><br />Nilai \( n = 9 \) memenuhi persamaan.<br /><br />Jadi, nilai \( n \) yang memenuhi persamaan adalah \( n = 9 \).<br /><br />Namun, karena pilihan jawaban tidak mencakup \( n = 9 \), kita perlu memeriksa kembali perhitungan kita. Ternyata ada kesalahan dalam perhitungan jumlah deret.<br /><br />Mari kita hitung ulang jumlah deret dengan benar:<br /><br />\[<br />\sum_{n=1}^{n}(4n+5) = 2n(n+1) + 5n = 197<br />\]<br /><br />\[<br />2n^2 + 7n = 197<br />\]<br /><br />\[<br />2n^2 + 7n - 197 = 0<br />\]<br /><br />Menggunakan rumus kuadrat:<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-197)}}{2 \cdot 2}<br />\]<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 1568}}{4}<br />\]<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 \pm 40.27}{4}<br />\]<br /><br />\[<br />n = \frac{-7 + 40.27}{4} \approx \frac{33.27