L^-1{(s e^-2 s)/(s^2)-13 s+12.

Para encontrar a transformada inversa de Laplace da função dada, podemos usar a propriedade do deslocamento no tempo e a decomposição em frações parciais.<br /><br />Primeiro, vamos decompor a função:<br />\[ \frac{s}{s^2 - 13s + 12} = \frac{s}{(s-1)(s-12)} \]<br /><br />Podemos escrever isso como uma soma de frações parciais:<br />\[ \frac{s}{(s-1)(s-12)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s-12} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum \((s-1)(s-12)\), obtemos:<br />\[ s = A(s-12) + B(s-1) \]<br /><br />Para encontrar \(A\) e \(B\), podemos resolver o sistema de equações resultante:<br />1. Quando \(s = 1\):<br />\[ 1 = A(1-12) + B(1-1) \implies 1 = -11A \implies A = -\frac{1}{11} \]<br /><br />2. Quando \(s = 12\):<br />\[ 12 = A(12-12) + B(12-1) \implies 12 = 11B \implies B = \frac{12}{11} \]<br /><br />Portanto, temos:<br />\[ \frac{s}{(s-1)(s-12)} = \frac{-1/11}{s-1} + \frac{12/11}{s-12} \]<br /><br />Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace:<br />\[ L^{-1}\left\{\frac{-1/11}{s-1}\right\} = -\frac{1}{11}e^{t} \]<br />\[ L^{-1}\left\{\frac{12/11}{s-12}\right\} = \frac{12}{11}e^{12t} \]<br /><br />Assim, a transformada inversa de Laplace da função original sem o termo exponencial é:<br />\[ L^{-1}\left\{\frac{s}{s^2 - 13s + 12}\right\} = -\frac{1}{11}e^{t} + \frac{12}{11}e^{12t} \]<br /><br />Finalmente, usando a propriedade do deslocamento no tempo \(L^{-1}\{F(s)e^{-as}\} = u(t-a)f(t-a)\), onde \(u(t-a)\) é a função degrau unitário, obtemos:<br />\[ L^{-1}\left\{\frac{s e^{-2 s}}{s^{2}-13 s+12}\right\} = u(t-2) \left(-\frac{1}{11}e^{t-2} + \frac{12}{11}e^{12(t-2)}\right) \]<br /><br />Portanto, a resposta final é:<br />\[ u(t-2) \left(-\frac{1}{11}e^{t-2} + \frac{12}{11}e^{12(t-2)}\right) \]