63 Escreva as equaçao paramétricas das interseço dos plano e) pi 1: 2 x-y+2 z=0 e pi 2: 4 x-2 y-z=1

Para encontrar as equações paramétricas das interseções do plano \( \pi_1 \) e \( \pi_2 \), precisamos primeiro encontrar um ponto comum a ambos os planos e um vetor diretor comum.<br /><br />Podemos fazer isso resolvendo o sistema de equações formado pelas equações dos planos:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />2x - y + 2z = 0 \\<br />4x - 2y - z = 1<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Multiplicando a primeira equação por 2, temos:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />4x - 2y + 4z = 0 \\<br />4x - 2y - z = 1<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:<br /><br />\[<br />(4x - 2y + 4z) - (4x - 2y - z) = 0 - 1<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />5z = -1<br />\]<br /><br />Portanto, \( z = -\frac{1}{5} \).<br /><br />Substituindo esse valor de \( z \) em uma das equações originais, podemos encontrar o valor de \( x \) e \( y \). Vamos usar a primeira equação:<br /><br />\[<br />2x - y + 2(-\frac{1}{5}) = 0<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />2x - y - \frac{2}{5} = 0<br />\]<br /><br />Multiplicando por 5 para eliminar o denominador, temos:<br /><br />\[<br />10x - 5y - 2 = 0<br />\]<br /><br />Portanto, \( 10x = 5y + 2 \) ou \( x = \frac{1}{2}y + \frac{1}{5} \).<br /><br />Agora, podemos escolher um valor para \( y \) e encontrar o valor correspondente de \( x \) e \( z \). Vamos escolher \( y = 0 \):<br /><br />\[<br />x = \frac{1}{2}(0) + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}<br />\]<br /><br />\[<br />z = -\frac{1}{5}<br />\]<br /><br />Portanto, um ponto comum aos planos é \( P(\frac{1}{5}, 0, -\frac{1}{5}) \).<br /><br />Para encontrar o vetor diretor comum, podemos usar o resultado da eliminação anterior. O vetor diretor é dado pela diferença entre os vetores normais dos planos:<br /><br />\[<br />\vec{d} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Portanto, o vetor diretor comum é \( \vec{d} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \).<br /><br />Usando o ponto \( P \) e o vetor diretor \( \vec{d} \), podemos escrever as equações paramétricas das interseções:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />x = \frac{1}{5} + 2t \\<br />y = -t \\<br />z = -\frac{1}{5} - 3t<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />onde \( t \) é um parâmetro que varia ao longo da reta de interseção.