Irsandie o métrede de integrale por partes. ealeule as integrais: [ int x cos 5 x d x ]

Para resolver a integral \(\int x \cos 5x \, dx\) usando integração por partes, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[<br />\int u \, dv = uv - \int v \, du<br />\]<br /><br />Aqui, escolhemos \(u = x\) e \(dv = \cos 5x \, dx\). Então, precisamos encontrar \(du\) e \(v\):<br /><br />\[<br />du = dx<br />\]<br /><br />\[<br />v = \int \cos 5x \, dx = \frac{1}{5} \sin 5x<br />\]<br /><br />Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:<br /><br />\[<br />\int x \cos 5x \, dx = x \left( \frac{1}{5} \sin 5x \right) - \int \left( \frac{1}{5} \sin 5x \right) \, dx<br />\]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />\int x \cos 5x \, dx = \frac{x}{5} \sin 5x - \frac{1}{5} \int \sin 5x \, dx<br />\]<br /><br />Para resolver a integral restante \(\int \sin 5x \, dx\), aplicamos a regra básica de integração:<br /><br />\[<br />\int \sin 5x \, dx = -\frac{1}{5} \cos 5x<br />\]<br /><br />Substituindo na expressão anterior, temos:<br /><br />\[<br />\int x \cos 5x \, dx = \frac{x}{5} \sin 5x + \frac{1}{25} \cos 5x + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração. Portanto, a resposta final é:<br /><br />\[<br />\int x \cos 5x \, dx = \frac{x}{5} \sin 5x + \frac{1}{25} \cos 5x + C<br />\]