Em anos de desenvolvimento a matematica vem tomando uma signficativa importancia no cotidiano de todos no decorrer dos tempos princpaimente para os engenheros. fla esta presente em tudo em stuacbes cotidianase em cursos de graduache seja de forma direta ou indireta. O Calculo Diferenca e Integral faz parte de toda a vida academica dos estudantes de engenharia proporoonando-os a possibildade de soluconar problem s na profissio excolhida ou nas diversas areas do conhecimento de uma forma mas assertiva Como exemplo, no calculo de traple, compresile cisahumento tendes e deformaçbes (deformaçber em baras carregadas anaimente/bartas sob a aclo do propro pesol, calculo de areas volumes, momentos de inercia cargas e entre outros. Fonte belicontent. Acesso em: 10 ago. 2024 Sobre a importanoa des contevides do Calculo Differencial e integral, observe a funcilo a seguir. f(x)=sqrt (x+1)-2x+4 Com base na funclo faca a) Qual o valor desta functo cakulada no ponto 3? b) Qual atan de varuglo instantines. ou seja aderiada desta funcko? c) Qual o valor da derivada calculada no ponto J? d) A dervada segunda desta funcilo e? e) Aderviada segunda calculad no ponto 3e? integral da funglo ongina calculada no intervalo de zero ate 3?

Peço desculpas pelo erro anterior. Vamos corrigir e resolver cada item da questão:<br /><br />a) Para calcular o valor da função no ponto 3, substituímos \( x = 3 \) na função \( f(x) \):<br /><br />\[ f(3) = \sqrt{3 + 1} - 2 \cdot 3 + 4 \]<br />\[ f(3) = \sqrt{4} - 6 + 4 \]<br />\[ f(3) = 2 - 6 + 4 \]<br />\[ f(3) = 0 \]<br /><br />Portanto, o valor da função no ponto 3 é 0.<br /><br />b) Para encontrar a derivada instantânea, ou seja, a derivada da função \( f(x) \), aplicamos a regra do quociente e a regra da cadeia:<br /><br />\[ f(x) = \sqrt{x+1} - 2x + 4 \]<br /><br />Derivando term a term:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot 1 - 2 \]<br />\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - 2 \]<br /><br />Portanto, a derivada instantânea da função é \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - 2 \).<br /><br />c) Para calcular o valor da derivada no ponto 3, substituímos \( x = 3 \) na derivada \( f'(x) \):<br /><br />\[ f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3+1}} - 2 \]<br />\[ f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{4}} - 2 \]<br />\[ f'(3) = \frac{1}{2 \cdot 2} - 2 \]<br />\[ f'(3) = \frac{1}{4} - 2 \]<br />\[ f'(3) = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} \]<br />\[ f'(3) = -\frac{7}{4} \]<br /><br />Portanto, o valor da derivada no ponto 3 é \( -\frac{7}{4} \).<br /><br />d) Para encontrar a segunda derivada, derivamos novamente a derivada \( f'(x) \):<br /><br />\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - 2 \]<br /><br />Derivando term a term:<br /><br />\[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \right) - \frac{d}{dx} (2) \]<br />\[ f''(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{2\sqrt{(x+1)^3}} \]<br />\[ f''(x) = -\frac{1}{4(x+1)^{3/2}} \]<br /><br />Portanto, a segunda derivada da função é \( f''(x) = -\frac{1}{4(x+1)^{3/2}} \).<br /><br />e) Para calcular o valor da segunda derivada no ponto 3, substituímos \( x = 3 \) na segunda derivada \( f''(x) \):<br /><br />\[ f''(3) = -\frac{1}{4(3+1)^{3/2}} \]<br />\[ f''(3) = -\frac{1}{4 \cdot 4^{3/2}} \]<br />\[ f''(3) = -\frac{1}{4 \cdot 8} \]<br />\[ f''(3) = -\frac{1}{32} \]<br /><br />Portanto, o valor da segunda derivada no ponto 3 é \( -\frac{1}{32} \).<br /><br />f) Para calcular a integral da função original no intervalo de zero a 3, usamos a fórmula da integral definida:<br /><br />\[ \int_{0}^{3} f(x) \, dx = \int_{0}^{3} \left( \sqrt{x+1} - 2x + 4 \right) \, dx \]<br /><br />Calculamos a integral term a term:<br /><br />\[ \int_{0}^{3} \sqrt{x+1} \, dx - 2 \int_{0}^{3} x \, dx + 4 \int_{0}^{3} 1 \, dx \]<br /><br />Para a primeira integral, usamos a substituição \( u = x + 1 \):<br /><br />\[ \int_{0}^{3} \sqrt{x+1} \, dx = \int_{1}^{4} \sqrt{u} \, du = \left[ \frac{2}{3} u^{3/2