16) Dados os vetores overrightarrow (u_(1))=(1,1,0) e overrightarrow (u)_(2)=(1,1,1) pede-se determinar as coordenadas do vetor overrightarrow (v) de módulo sqrt (5) tal que overrightarrow (v)-overrightarrow (u_(1))bot overrightarrow (u)_(1) eoverrightarrow (v)-overrightarrow (u)_(2)bot overrightarrow (u)_(2)

Para determinar as coordenadas do vetor $\overrightarrow{v}$, podemos usar as condições dadas de que $\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u_1} \perp \overrightarrow{u_1}$ e $\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u_2} \perp \overrightarrow{u_2}$.<br /><br />Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre $\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u_1}$ e $\overrightarrow{u_1}$:<br /><br />$(\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u_1}) \cdot \overrightarrow{u_1} = 0$<br /><br />Substituindo os valores dos vetores $\overrightarrow{v} = (x, y, z)$ e $\overrightarrow{u_1} = (1, 1, 0)$, temos:<br /><br />$(x - 1, y - 1, z) \cdot (1, 1, 0) = 0$<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />$x - 1 + y - 1 + z \cdot 0 = 0$<br /><br />$x + y - 2 = 0$<br /><br />Agora, vamos calcular o produto escalar entre $\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u_2}$ e $\overrightarrow{u_2}$:<br /><br />$(\overrightarrow{v} - \overrightarrow{u_2}) \cdot \overrightarrow{u_2} = 0$<br /><br />Substituindo os valores dos vetores $\overrightarrow{v} = (x, y, z)$ e $\overrightarrow{u_2} = (1, 1, 1)$, temos:<br /><br />$(x - 1, y - 1, z - 1) \cdot (1, 1, 1) = 0$<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />$x - 1 + y - 1 + z - 1 = 0$<br /><br />$x + y + z - 3 = 0$<br /><br />Agora, podemos resolver o sistema de equações formado pelas duas equações obtidas:<br /><br />$x + y - 2 = 0$<br />$x + y + z - 3 = 0$<br /><br />Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos:<br /><br />$z - 1 = 0$<br /><br />Portanto, $z = 1$.<br /><br />Substituindo esse valor na primeira equação, temos:<br /><br />$x + y - 2 = 0$<br /><br />Como o módulo de $\overrightarrow{v}$ é $\sqrt{5}$, podemos usar a fórmula do módulo de um vetor:<br /><br />$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{5}$<br /><br />Substituindo os valores conhecidos, temos:<br /><br />$\sqrt{x^2 + y^2 + 1^2} = \sqrt{5}$<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />$x^2 + y^2 + 1 = 5$<br /><br />$x^2 + y^2 = 4$<br /><br />Agora, podemos resolver o sistema de equações formado pelas duas equações obtidas:<br /><br />$x + y - 2 = 0$<br />$x^2 + y^2 = 4$<br /><br />Substituindo $y = 2 - x$ na segunda equação, temos:<br /><br />$x^2 + (2 - x)^2 = 4$<br /><br />Simplificando a expressão, obtemos:<br /><br />$x^2 + 4 - 4x + x^2 = 4$<br /><br />$2x^2 - 4x = 0$<br /><br />Dividindo ambos os lados por 2, temos:<br /><br />$x^2 - 2x = 0$<br /><br />Fatorando a expressão, obtemos:<br /><br />$x(x - 2) = 0$<br /><br />Portanto, as soluções para $x$ são $x = 0$ ou $x = 2$.<br /><br />Substituindo esses valores na primeira equação, temos:<br /><br />$y = 2 - x$<br /><br />Se $x = 0$, então $y = 2$.<br /><br />Se $x = 2$, então $y = 0$.<br /><br />Portanto, as coordenadas do vetor $\overrightarrow{v}$ são $(0, 2, 1)$ ou $(2, 0, 1)$.