7 Determine o Vf das seguintes funcoes. (a) f(x,y)=yx^2 (b) f(x,y)=x^2+y^2-3 (c) f(x,y)=sin(yx^2) (d) f(x,y)=e^yx - e f(x,y)=ln(x^2+y)

(a) Para determinar o gradiente da função \( f(x,y) = yx^2 \), precisamos calcular as derivadas parciais em relação a \( x \) e \( y \):<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy<br />\]<br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = x^2<br />\]<br /><br />Portanto, o gradiente é:<br /><br />\[<br />\nabla f(x,y) = (2xy, x^2)<br />\]<br /><br />(b) Para a função \( f(x,y) = x^2 + y^2 - 3 \), as derivadas parciais são:<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = 2x<br />\]<br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = 2y<br />\]<br /><br />Portanto, o gradiente é:<br /><br />\[<br />\nabla f(x,y) = (2x, 2y)<br />\]<br /><br />(c) Para a função \( f(x,y) = \sin(yx^2) \), as derivadas parciais são:<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = 2yx \cos(yx^2)<br />\]<br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 \cos(yx^2)<br />\]<br /><br />Portanto, o gradiente é:<br /><br />\[<br />\nabla f(x,y) = (2yx \cos(yx^2), x^2 \cos(yx^2))<br />\]<br /><br />(d) Para a função \( f(x,y) = e^{yx} \), as derivadas parciais são:<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = ye^y<br />\]<br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{yx}<br />\]<br /><br />Portanto, o gradiente é:<br /><br />\[<br />\nabla f(x,y) = (ye^y, x e^{yx})<br />\]<br /><br />(e) Para a função \( f(x,y) = \ln(x^2 + y) \), as derivadas parciais são:<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y}<br />\]<br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y}<br />\]<br /><br />Portanto, o gradiente é:<br /><br />\[<br />\nabla f(x,y) = \left(\frac{2x}{x^2 + y}, \frac{1}{x^2 + y}\right)<br />\]