4. Determinar uma transformação linear T: R^2arrow R^3 cujo núcleo tem dimensão 1. 5. Transformação Linear T: R^2arrow R^2 definida por: T(x,y)=(2x-y,x+y) é um isomorfismo.

4. Para determinar uma transformação linear T: $R^{2}\rightarrow R^{3}$ cujo núcleo tem dimensão 1, precisamos encontrar uma matriz que represente essa transformação e que tenha um vetor nulóide não nulo. Uma possível matriz para essa transformação é:<br /><br />$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$<br /><br />Nesse caso, o núcleo da transformação é gerado pelo vetor nulóide (0, 0, 1), que tem dimensão 1. Portanto, a transformação linear T: $R^{2}\rightarrow R^{3}$ cujo núcleo tem dimensão 1 é representada pela matriz A acima.<br /><br />5. Para determinar se a transformação linear T: $R^{2}\rightarrow R^{2}$ definida por $T(x,y)=(2x-y,x+y)$ é um isomorfismo, precisamos verificar se ela é bijetora (injetora e sobrejetora).<br /><br />Para verificar se a transformação é injetora, devemos verificar se o núcleo da transformação é trivial, ou seja, se o único vetor que é mapeado para o vetor nulo é o vetor nulóide. Neste caso, o núcleo da transformação é gerado pelo vetor nulóide (1, -2), que não é trivial. Portanto, a transformação não é injetora.<br /><br />Para verificar se a transformação é sobrejetora, devemos verificar se o imagem da transformação é igual ao espaço de destino. Neste caso, a imagem da transformação é igual ao subespaço gerado pelos vetores (2, 1) e (-1, 1), que é um subespaço de dimensão 2 dentro de $R^{2}$. Portanto, a transformação é sobrejetora.<br /><br />Como a transformação não é injetora, podemos concluir que a transformação linear T: $R^{2}\rightarrow R^{2}$ definida por $T(x,y)=(2x-y,x+y)$ não é um isomorfismo.